Характеристики поведения функции

1. Функция у = f (х), определённая на множестве Х, называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число М > 0, что для всех х Х выполняется неравенство | f (х) | ≤ M. Отсюда следует, что график ограниченной функции расположен между прямыми у = М и у = - М.

2. Пусть функция у = f (х), определена на множестве Х, тогда если для любых двух значений х₁, х₂ Х аргументов из неравенства х₁< х₂ следует неравенство:

1) f(х₁) < f(х₂), то функция называется возрастающей на множестве Х.

(большему значению аргумента соответствует большее значение функции);

2) f(х₁) > f(х₂), то функция называется убывающей на множестве Х.

(большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);

3) f(х₁) ≤ f(х₂), то функция называется неубывающая на множестве Х;

4) f(х₁) ≥ f(х₂), то функция называется невозрастающей на множестве Х.

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве Х называются монотонными на этом множестве.

3. Пусть функция у = f (х), определена на множестве Х, тогда если для любого х Х выполняется условие:

1) f (-х)= f (х), то функция называется чётной.

2) f (-х)=- f (х), то функция называется нечётной.

График чётной функции симметричен координатной оси Оу, а нечётной – относительно начала координат О.

Например, y = x², y = cos x, y = ln |x| - чётные функции, y = sin x, y = x³ – нечётные функции.

Если функция не является чётной или нечётной, то она называется функцией общего вида. Например, y = x - 2, y = - функции общего вида.

4. Функция у = f (х), определённая на множестве Х, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т > 0, что для всех х Х выполняются условия (х + Т) Х и f (х + Т) = f (х). При этом число Т называется периодом функции. Например, функции y =sin x, y = cos x – периодические с периодом Т = 2π.