Разложение по окружной координате

(20)

приводит к системам уравнений:

-при

(21)

-при

(22)

И разделяя переменные

(23)

получаем системы линейных ОДУ Бесселя (Бессель Ф.В.-F.W.Bessel 1828)

-при

(24)

-при

(25)

Рассматривая задачу о симметричных формах колебании сплошной круговой мембраны с закрепленными краями , имеем

(26)

где –собственные числа соответствующей задачи Штурма-Лиувилля, а постоянные интегрирования определяются из начальных условий, представленных обобщенными рядами Фурье (рядами Бесселя)

(27)

(28)

по фундаментальной системе бесселевых (цилиндрических функций Эйлера Л.-L.Euler 1766 ) функций первого рода нулевого индекса

(29)

Аналогично представляются решения и для неосесимметричных форм колебаний сплошной круговой мембраны.