Уравнение Лапласа. Постановка краевых задач для эллиптических УрЧП

6.2.1.Уравнением Лапласа называется однородное уравнение, содержащее дифференциальный оператор в области , ограниченной контуром , например, двумерный в декартовой системе координат

(1)

или в полярной системе координат

(2)

Различают три типа краевых условий и соответственно три типа краевых задач.

6.2.2. Задача Дирихле (краевые условия первого рода): найти функцию, удовлетворяющую в заданной области уравнению Лапласа и принимающей на границе этой области заданное значение

(3)

6.2.3. Задача Неймана (краевые условия второго рода): найти функцию, удовлетворяющую в заданной области уравнению Лапласа и производная по нормали (поток) к ограничивающему эту область принимает на границе заданное значение

(4)

6.2.4. Задача Робина (краевые условия третьего рода): найти функцию, удовлетворяющую в заданной области уравнению Лапласа и линейная комбинация производной по нормали к ограничивающему эту область и искомой функции принимает на границе заданное значение

(5)

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа называют гармоническими.

6.3. Уравнение Пуассона. Если правая часть уравнения неоднородная (ненулевая) заданная (источники - стоки) функция УрЧП называется уравнением Пуассона:

- в декартовой системе координат

(6)

или в полярной системе координат

(7)

Различают также три типа краевых условий и соответственно три типа краевых задач.

6.3.1. Задача Дирихле (краевые условия первого рода): найти функцию, удовлетворяющую в заданной области уравнению Пуассона и принимающей на границе этой области заданное значение

(8)

6.3.2. Задача Неймана (краевые условия второго рода): найти функцию, удовлетворяющую в заданной области уравнению Пуассона и производная по нормали к ограничивающему эту область принимает на границе заданное значение

(9)

Для однозначной разрешимости задачи Неймана для уравнения Пуассона из условия баланса граничных потоков и внутренних источников-стоков

(10)

6.3.3. Задача Робина (краевые условия третьего рода): найти функцию, удовлетворяющую в заданной области уравнению Пуассона и линейная комбинация производной по нормали к ограничивающему эту область и искомой функции принимает на границе заданное значение

(11)