Метод разделения переменных

(32)

Редуцированная система начальной и краевой задач для ОДУ

(33)

и ее решения (относительно – задача на собственные значения Штурма-Лиувилля) (Штурм Ж.Ш.Ф.-J.Ch.F.Sturm 1840,Лиувилль Ж. – J.Liouville 1856)

(34)

собственные функции (счетное множество) удовлетворяют однородным краевым условиям для каждого значения . Вторая системафукций определяется как общее решение

(35)

произвольные постоянные интегрирования определяются из начальных условий после подстановки этих решений в выражение для искомой функции

(36)

Разлагая начальные функции в ряд Фурье (Фурье Ж.Б.Ж.-J.B.J.Fourier 1816) по нечетным функциям

(37)

и приравнивая их значения имеем

(38)

Получили решение в виде одинарного функционального ряда по временной и пространственной переменным.

Лекция 3. Гиперболические УрЧП. Метод Фурье (продолжение).

3.1. Начально-краевая задача с неоднородной правой частью и однородными краевыми условиями. Постановка задачи включает УрЧП с неоднородной правой частью, разложимой в ряд Фурье

(1)

начальные условия (неоднородные), разложимые в ряд Фурье

(2)

однородные краевые условия

(3)

Решение задается в форме ряда Фурье

(4)

уловлетворяет “автоматически” краевым условиям, а составляющие удовлетворят ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и комплексно-сопряженными характеристическими показателями

(5)

постоянные интегрирования определяются из (оставшихся) начальных условий

(6)

что дает для коэффициентов ряда Фурье значения

и окончательно для решения выражение в виде

(7)

3.2. Начально-краевая задача с неоднородной правой частью и неоднородными краевыми условиями. Постановка задачи включает УрЧП с неоднородной правой частью, разложимой в ряд Фурье

(8)

начальные условия (неоднородные), разложимые в ряд Фурье

(9)