Однородные краевые условия,

(14)

Решение задается в форме ряда Фурье

(15)

уловлетворяет “автоматически” краевым условиям, а составляющие удовлетворят ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и комплексно-сопряженными характеристическими показателями

(16)

или в сокращенной форме

(17)

что дает для коэффициентов ряда Фурье значения

и окончательно для решения выражение в виде

(18)

Задание № 3-1. Методомразделения переменных (методом Фурье) решить задачу с УрЧП. При заданных значениях правой части, начальных и краевых условиях

Решение дается в виде

здесь все коэффициенты при синусах () равны нулю, при косинусах все кроме первого (по свойству ортогональности) равны нулю

3.3. Колебания круглой мембраны. В полярной системе координат начально-краевая задача первого рода записывается в виде

(19)