Теплопроводность бесконечного стержня. Метод Фурье, Интеграл Фурье

Бесконечный стержень – влияние краев не сказывается. Задача содержит только начальное условие, а краевые отсуствуют, кроме ограниченности искомой функции

(40)

Представляя решение в виде функции с разделенными переменными

(41)

получаем систему ЛОДУ второго и первого порядков с постянными коэффициентами

(42)

общие решения которых есть

(43)

Обьединив “постоянные ” интегрирования как функции собственных чисел -непрерывного двоякобесконечного спектра имеем

(44)

Здесь «постоянные» интегрирования определяются из начального условия, представленного в виде разложения в интеграл Фурье

(45)

откуда получаем

(46)

или после вычисления «внешнего» интеграла приходим к интегралу Пуассона (Пуассон С.Д.-S. D.Poisson 1825)

(47)

для решения задачи теплопроводности (остывания) для бесконечного стержня.

4.4.Метод разделения переменных Фурье решения начально-краевых задач для параболических УрЧП.

4.4.1. Однородная правая часть и однородные краевые условия. Задача состоит в определении частного решения – непрерывной дважды дифференцируемой по обоим переменным функции, удовлетворяющей УрЧП с однородной правой частью, неоднородными начальными условиями и однородными краевыми

(48)