Уравнения поперечных колебаний длинной струны

Струна: тонкая, абсолютно гибкая, не имеет сопротивления на изгиб-внутренняя реакция имеет только одну продольную силу натяжения , направленную по касательной к струне, нерастяжима, однородная, постоянного поперечного единичного сечения, погонной плотности , длина значительно больше поперечного размера .

Колебания малые: отклонения от положения равновесия малые такие,

что

(1)

происходят в одной плоскости и в каждый момент времени находятся на одной прямой, перпендикулярной продольной оси.

Уравнения:

Закон Ньютона

Кинематические соотношения – ускорение

Уравнения равновесия на поперечной прямой (отсуствие движения вдоль оси) –проекция на поперечную () и движения в поперечном направлении ().

Следствия уравнений равновесия: натяжение постоянно , а

или с учетом (1) имеем уравнения свободных поперечных колебаний струны

(2)

Добавляя в правую часть действие внешних сил и сил сопротивления вязкого и упругого имеем уравнения вынужденных поперечных колебаний струны (одномерные) в среде с сопротивлением

(3)

Аналогично представляется уравнение поперечные колебания мембраны (двумерные)

или через дифференциальный оператор Лапласа в правой части

(4)

2.1.2. Продольные колебания стержня.

Стержень: цилиндрическое (призматическое) тело постоянного поперечного сечения, однородное плотности , длина значительно больше поперечного размера , линейно упругий (по Гуку) (Гук Р.-R.Hooke 1660).

Колебания малые: продольные отклонения от положения равновесия малые такие, что деформации, испытываемые стержнем малые (по Коши )(Коши О.Л.-A.L.Cauchy -1846)

(5)

происходят в одной плоскости и в каждый момент времени находятся на одной прямой- на продольной оси.

Уравнения:

Закон Ньютона

Закон Гука «нормальные напряжение – продольная деформация» -модуль Юнга.

Кинематические соотношения – ускорение

Уравнения движения: в проекции на продольную ось

(6)

или после подстановки закона Гука имеем уравнения продольных свободных колебаний стержня

(7)

и с учетом внешних сил и сил сопротивления вязкого и упругого имеем уравнения вынужденных продольных колебаний стержня в среде с сопротивлением

(8)

- скорость продольных волн (скорость звука).

2.1.3.Крутильные колебания вала.

Вал: цилиндрическое круглое тело постоянного поперечного сечения, однородное плотности , длина значительно больше поперечного размера , линейно упругий (по Гуку).

Колебания малые: малые углы крутки отклонения от положения равновесия такие, что деформации, испытываемые стержнем малые (по Коши)

(9)

происходят в одной плоскости, перпедикулярной оси кручения и в каждый момент времени находятся в этой плоскости.

Гипотеза плоских сечений Сен-Венана( Барре де Сен-Венан А.Ж.К.-A.J.C.Barre de Seint-Venant 1845): сечения остаются плоскими, а радиусы прямолинейными

(10)

Уравнения:

Закон Ньютона

Закон Гука «касательные напряжения – сдвиговая деформация» -модуль сдвига.

Кинематические соотношения – угловое ускорение

Уравнение движения (вращения относительно оси)

(11)

или с учетов внешних крутящих моментов и моментов вязкого и упругого сопротивления

(12)

- скорость сдвиговых волн.

2.1.4. Телеграфное уравнение (электрические колебания в однородной длинной цепи). Двухпроводная система (линия) напряжение между ними , а ток

имеет активное сопротивление , индуктивность , емкость и активную проводимость .

Законы электрических цепей:

Закон Ома (Ом Г.-GS..Ohm 1832) для участка цепи и закон взаимной электрической индукции Ленца (Ленц Э.Х.-E.Ch.Lenz 1832)

(13)

Закон Кирхгоффа (Кирхгоф Г.Р.-G.R.Kirchhof 1864) для цепи и закон накопления заряда и потерь

(14)

Исключая одну из искомых величин имеем телеграфное уравнение относительно напряжения

(15)

или относительно силы тока

(16)

2.1.5. Уравнения Максвелла.Оператор Д’Аламбера.

Скалярный электрический потенциал и векторный магнитный потенциал связаны системой уравнений Максвелла (Максвелл Д.К.-J.Cl.Maxwell -1863)

(17)

Используя дифференциальный оператор Д’Аламбера (Даламбер Ж.Л. J.L.D‘Alambert 1754)

эта система принимает вид

(18)

- скорость света.

2.2.Постановка начально-краевой залачи для гиперболических двумерныз УрЧП.

Частное решение УрЧП опредеяется заданием дополнительных условий

- начальных:

начальное положение

(19)

начальная скорость

(20)

- краевых (граничных):

на левой границе

(21)

на правой границе

(22)

Постановка задачи: Найти решение (в классе дважды дифференцирумых по обеим переменным функций) УрЧП второго порядка с постоянными коэффициентами

(23)

при начальных условиях

(24)

и граничных условиях

(25)

2.2.1.Колебание бесконечной струны. Формула Д’Аламбера

Струна бесконечной протяженности – ни какие граничные условия не накладываются, кроме ограниченности: найти решение начальной задачи для УрЧП

(26)

с начальными условиями

(27)

Метод решения: замены переменных

(28)

редуцированное уравнение и его решение

(29)

после подстановки в начальные условия м мнтегрирования имеем решение в виде суммы двух бегущих волн

(30)

решение Д’Аламбера задачи Коши для УрЧП колебания струны.