Упражнение №7

Пусть теперь О₁ и О₂ пересекаются в точках Q₁ и Q₂.

Тогда любая точка радикальной оси, за исключением точек отрезка Q₁Q₂ служит центром окружности, ортогональной обеим окружностям О₁ и О₂. Возьмём произвольную точку РÎQ₁Q₂. Докажите, что существует (единственная) окружность О₃ с центром Р, такая, что её точки пересечения с каждой из двух окружностей О₁ и О₂ явдяются антиподальными (т.е., концами её диаметров). Об окружностях с таким свойством говорят, что они диаметральны (по отношению к окружностям О₁ и О₂).

Пусть теперь окружности О₁ и О₂ пересекаются в точках Q₁ и Q₂. Центры всех окружностей, проходящих через точки Q₁ и Q₂, расположены на прямой О₁О₂. Для каждой пары таких окружностей радикальной осью служит прямая Q₁Q₂. Говорят, что все эти окружности образуют пучок окружностей, а прямая является радикальной осью этого пучка. Обозначим буквой M точку пересечения этих двух прямых. Построим окружность с центром в М и радиусом МQ₁=М Q₂. Очевидно, что она диаметральна всем окружностям данного пучка. Более того, сам пучок можно определить как множество всех окружностей с центрами на прямой, проходящей через точку М - центр данной окружности, для которых эта окружность диаметральна.

Пусть теперь окружности О₁ и О₂ не пересекаются и пусть Q₁Q₂ - их радикальная ось. Возьмём на ней произвольную точку QÎQ₁Q₂. Построим окружность q, ортогональную обеим окружностям О₁ и О₂, как в упражнении 6. Пусть она пересекает прямую О₁О₂ в точках М₁ и М₂.