Упражнение №3

Докажите, что радикальная ось для двух окружностей, расположенных одна вне другой, являются также ГМТ, из которых длины касательных к обеим окружностям равны. Докажите также, что общая касательная к двум этим окружностям делится радикальной осью пополам.
Упражнение №4.
Докажите» что радикальные оси каждой пары данных трёх кругов сходятся в одной точке, называемой радикальным центром трёх окружностей. Иными словами, эти прямые конкуррентны. В частности, прямые, содержащие общие хорды трёх попарно пересекающихся кругов, пересекаются в одной точке.
Упражнение №5*. ( Теорема Брианшона)
Пусть описанный шестиугольник ABCDEF каксается окружности в точках MNPQRS. Если перенумеровать вершины и стороны шестиугольника против (или по) часовой стрелке 1, 2, 3, 4, 5, 6, то противоположными считаются вершины (стороны) с номерами, сравнимыми по модулю 3: 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6. Соответственно, главными диагоналями шестиугольника называются диагонали, соединящие противоположные вершины. Их, стало быть, три. Так вот, теорема утверждает, что все они пересекаются в одной точке (называемой точкой Брианшона).

Поскольку давать вам доказывать такую теорему полностью самостоятельно было бы нечестно, подскажу дополнительное построение. Отложите отрезки РР₁=RR₁=MM₁=NN₁=SS₁=QQ₁ как указано на рисунке. Докажите, что существуют три окружности: О₁, касающаяся пар прямых AF и CD в точках S₁ и P₁, О_2, касающаяся пар прямых BC и EF в точках R₁ и N₁ и О₃, касающаяся пар прямых AB и ED в точках Q₁ и M₁.

Теперь заметьте, что, например, А(О₁)=А(О₃) и D(O₁)=D(O₃). Завершите рассуждение.

Если две достаточно «гладкие»[2] кривые пересекаются, то угол между касательными к ним в их общей точке пересечения называется углом между этими кривыми в этой их общей точке. Если этот угол - прямой, то кривые называются ортогональными в данной точке.