![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задание: Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью
; шаг
;
Вариант №1
;
;
Вариант №2
;
;
Вариант №3
;
;
Вариант №4
;
;
Образец выполнения задания:
;
;
Разбив отрезок на части с шагом
, получим четыре узловые точки с абсциссами:
. Две точки являются конечными, а две другие внутренними. Данное уравнение во внутренних точках замени конечно-разностным уравнением:
.
Из краевых условий составим конечно-разностные уравнения в конечных точках:
Данная задача сводится к решению системы уравнений:
Выполнив преобразования, имеем:
Поставив значение в третье уравнение, получим для определения остальных неизвестных систему:
Для решения полученной системы воспользуемся, например, схемой «главных элементов».
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Свободные члены | S |
-0,00113507 -1 | -2,9 375,9 | -841 391,6 | -1 464,1 -881 | 0,1 4,2 -1045,66 | 0,2 3,2 -1535,06 |
0,00560179 -1 | -2,9 375,9 | 3,55551 -643,7098 | - - | 1,28690 -546,6411 | 1,94240 -805,4511 |
-1 | -0,79429 | - | - | -1,77527 | -2,56957 |
2,2350 3,2351 | 2,1849 3,1849 | 2,1580 3,1580 |
Ответ:
x | y | x | y |
2.0 2.1 | 2.235 2.185 | 2.2 2.3 | 2.185 2.150 |
Лабораторная работа 24
«Численные методы поиска минимума функции нескольких переменных»
1.Минимизировать функцию в Е^2 методом градиентного спуска с дроблением шага ( =0,05)
1)f(x,y)=2x+y+
2) f(x,y)=1.5x+1.1y+
3) f(x,y)=0.5x+2y+
4) f(x,y)=1.8x+0.4y+
5) f(x,y)=3x+2y+
Пример:
Следим, чтобы выполнялось условие монотонности <
и вычисляем, пока не будет выполняться условие
В качестве начального приближения и
=1.
k=0; ;
;
;
=1;
=
-
=(0, 0) – (1, 1) =(-1, -1)
>
- условие монотонности нарушено
Уменьшаем в 2 раза
=0.5
=
– 0,5
=
>
- условие монотонности нарушено
Уменьшаем в 2 раза
=0.25
=(0, 0) –0.25 (1,1)=(-0,25,-0,25)
<
- условие монотонности выполняется
Условие останова не выполнено.
=(-0,25,-0,25),
=0,25
=(-0,25,-0,25)-0,25
=(-0,277,-0,152)
<
- условие монотонности выполняется
Условие останова не выполнено.
=(-0,277,-0,152)
=0,25
=(-0,277,-0,152)-0.25
=(-0.301,-0.162)
<
- условие монотонности выполняется
Условие останова выполнено.
=(-0.301,-0.162),
2.Минимизировать квадратичную функцию в Е^2 методом наискорейшего спуска( =0,01):
Квадратичная функция имеет вид: f(x)=1/2(Ax,x)-(b,x);
A-симметричная, положительно определенная матрица n*n, x Е^2,b
Е^2.
Ax= ; (Ax,x)=
+
;
(b,x)=
Для случая Е^2
Пример:
В качестве начального приближения
A= ; b=
то
=0,227273
=
– 0,227273
=
=
Условие останова не выполнено
=0.625
=
– 0.625
=
=
Условие останова выполнено.
=
,
1) A= ; b=
2)A= ; b=
3)A= ; b=
4)A= ; b=
5) A= ; b=
3. Минимизировать квадратичную функцию в Е^2 методом сопряжённых градиентов:
Примеры:
1.
2.
3.
4.
5.
Квадратичная функция имеет вид: f(x)=1/2(Ax,x)-(b,x);
A-симметричная, положительно определенная матрица n*n, x Е^2,b
Е^2.
Ax= ; (Ax,x)=
+
;
(b,x)=
Пример:
f(x) – квадратичная функция в E^2. Поэтому x* должна быть найдена после 2-х итераций метода сопряжённых градиентов.
.
.
.
Пусть начальное приближение .
1-ая итерация: k=0
1.
2.
Решаем задачу минимизации по α. Из условия минимума
получим
. Отсюда находим
3.
4.
5.
Условие остановки не выполнено.
2-ая итерация: k=1
6.
7.
8.
Решаем задачу минимизации по α. Из условия минимума
получим
9.
10.
11. , тогда x*=
– решение задачи.
4. Минимизация функции F(x) методом барьерных функций:
Пример:
Пример:
1.
По (1):
Последовательность задач безусловной минимизации принимает вид:
принадлежит заданной области (3),а
не принадлежит, тогда x*=(1/3,2/3) - решение.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2093 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!