 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом конечных разностей
|
|
Задание: Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью
; шаг 
;
Вариант №1
; 
;
Вариант №2
; 
;
Вариант №3
; 
;
Вариант №4
; 
;
Образец выполнения задания:
; 
;
Разбив отрезок 
на части с шагом , получим четыре узловые точки с абсциссами: 
. Две точки являются конечными, а две другие внутренними. Данное уравнение во внутренних точках замени конечно-разностным уравнением:
.
Из краевых условий составим конечно-разностные уравнения в конечных точках:
Данная задача сводится к решению системы уравнений:
Выполнив преобразования, имеем:
Поставив значение 
в третье уравнение, получим для определения остальных неизвестных систему:
Для решения полученной системы воспользуемся, например, схемой «главных элементов».
| 
| 
| 
| Свободные члены | S |
| -0,00113507 -1 | -2,9 375,9 | -841 391,6 | -1 464,1 -881 | 0,1 4,2 -1045,66 | 0,2 3,2 -1535,06 |
| 0,00560179 -1 | -2,9 375,9 | 3,55551 -643,7098 | - - | 1,28690 -546,6411 | 1,94240 -805,4511 |
| -1 | -0,79429 | - | - | -1,77527 | -2,56957 |
| 2,2350 3,2351 | 2,1849 3,1849 | 2,1580 3,1580 |
Ответ:
| x | y | x | y |
| 2.0 2.1 | 2.235 2.185 | 2.2 2.3 | 2.185 2.150 |
Лабораторная работа 24
«Численные методы поиска минимума функции нескольких переменных»
1.Минимизировать функцию в Е^2 методом градиентного спуска с дроблением шага (
=0,05)
1)f(x,y)=2x+y+ 
2) f(x,y)=1.5x+1.1y+ 
3) f(x,y)=0.5x+2y+ 
4) f(x,y)=1.8x+0.4y+ 
5) f(x,y)=3x+2y+ 
Пример: 
Следим, чтобы выполнялось условие монотонности 
< 
и вычисляем, пока не будет выполняться условие 
В качестве начального приближения 
и 
=1.
k=0; ; 
; 
; =1;
= 
- 
=(0, 0) – (1, 1) =(-1, -1)
> 
- условие монотонности нарушено
Уменьшаем в 2 раза 
=0.5
= 
– 0,5 
= 
> - условие монотонности нарушено
Уменьшаем в 2 раза =0.25
=(0, 0) –0.25 (1,1)=(-0,25,-0,25)
< - условие монотонности выполняется
Условие останова не выполнено.
=(-0,25,-0,25), =0,25
=(-0,25,-0,25)-0,25 
=(-0,277,-0,152)
< 
- условие монотонности выполняется
Условие останова не выполнено.
=(-0,277,-0,152) =0,25
=(-0,277,-0,152)-0.25 
=(-0.301,-0.162)
< - условие монотонности выполняется
Условие останова выполнено.
=(-0.301,-0.162), 
2.Минимизировать квадратичную функцию в Е^2 методом наискорейшего спуска( =0,01):
Квадратичная функция имеет вид: f(x)=1/2(Ax,x)-(b,x);
A-симметричная, положительно определенная матрица n*n, x 
Е^2,b Е^2.
Ax= 
; (Ax,x)= 
+ 
;
(b,x)= 
Для случая Е^2 
Пример:
В качестве начального приближения
A= 
; b= 
то 
=0,227273
= – 0,227273 = 
= 
Условие останова не выполнено
=0.625
= – 0.625 
= 
= 
Условие останова выполнено.
= , 
1) A= ; b= 
2)A= 
; b= 
3)A= 
; b= 
4)A= 
; b= 
5) A= 
; b= 
3. Минимизировать квадратичную функцию в Е^2 методом сопряжённых градиентов:
Примеры:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Квадратичная функция имеет вид: f(x)=1/2(Ax,x)-(b,x);
A-симметричная, положительно определенная матрица n*n, x Е^2,b Е^2.
Ax= 
; (Ax,x)= + ;
(b,x)=
Пример:
f(x) – квадратичная функция в E^2. Поэтому x* должна быть найдена после 2-х итераций метода сопряжённых градиентов.
.
.
.
Пусть начальное приближение .
1-ая итерация: k=0
1. 
2. 
Решаем задачу минимизации 
по α. Из условия минимума 
получим 
. Отсюда находим
3. 
4. 
5. 
Условие остановки не выполнено.
2-ая итерация: k=1
6. 
7. 
8. 
Решаем задачу минимизации 
по α. Из условия минимума 
получим 
9. 
10. 
11. 
, тогда x*= 
– решение задачи.
4. Минимизация функции F(x) методом барьерных функций:
Пример:
Пример:
1. 
По (1):
Последовательность задач безусловной минимизации принимает вид:
принадлежит заданной области (3),а 
не принадлежит, тогда x*=(1/3,2/3) - решение.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2127 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
