Лабораторная работа18

Ортогональные многочлены Чебышева

Задание:

1. На множестве точек определить ортогональные многочлены Чебышева и вычислить их нормы.
2. Требуется аппроксимировать функцию алгебраическими многочленами наилучшего среднеквадратического приближения , , , .

Вариант №1

1.

xi           yi 1,1 1,4 1,6 1,7 1,9

2.

Вариант №2

1.

xi           yi 1,05 1,55 1,7 1,75 1,8

2.

Вариант №3

1.

xi           yi 0,4 0,55 0,13 0,09 0,07

2.

Вариант №4

1.

xi           yi   2,69 3,1 3,39 3,61

2.

Вариант №5

1.

xi           yi 1,1 1,55 1,9 2,3 2,6

2.

Вариант №6

1.

xi           yi 7,1 6,1 4,9   3,1

2.

Образец выполнения задания:

1.

Многочленами Чебышева на множестве точек () называются алгебраические многочлены, ортогональные на этом множестве, с нормой (), отличной от нуля, и определяемые следующими рекуррентными формулами:

()

()

В данном примере . Имеем

; ;

;

i	xi	a	g0(xi)	g02(xi)	g1(xi)	g12(xi)	xig12(xi)	xig0(xi)g1(xi)	a2	b2
					-0,5	0,25
					0,5	0,25	0,25	0,5
Сумма						0,5	0,25	0,5
		0,5							0,5	0,25

Далее, используя рекуррентные соотношения, построим функцию

.

i	xi	g2(xi)
		-0,5
		0,5
Сумма

Норма функции на множестве не равна нулю и, следовательно, эта функция является многочленом Чебышева.

2.

i
xi
yi

Составим ортогональные многочлены Чебышева , , , на множестве точек . Имеем

; ; ;

i	xi	a	g02(xi)	g12(xi)	g22(xi)	g32(xi)	a2	b2	a3	b3
					2,25	1,44
					2,25	5,76
					2,25	5,76
					2,25	1,44
Сумма						14,4
								2,5		0,9

; ; ;

i	xi	g0(xi)	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)
			-2	1,5	-1,2
			-1	-1,5	2,4
				-1,5	-2,4
				1,5	1,2

Многочлены наилучшего приближения имеют вид:

, , , .

Здесь коэффициенты Фурье определены по формуле:

()

i	xi	g0(xi)	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	xig0(xi)	xig1(xi)	xig2(xi)	xig3(xi)	c0	c1	c2	c3
			-2	1,5	-1,2		-8		-4,8
			-1	-1,5	2,4
				-1,5	-2,4			-1,5	-2,4
				1,5	1,2				2,4
Сумма							-3	7,5	-4,8
										1,75	-0,3	0,833	-0,33

Квадрат наименьшего среднеквадратического отклонения:

i	yi	yi2	c02	c12	c22	c32
Сумма
			3,063	0,09	0,69	0,111

Тем самым найдены алгебраические многочлены наименьшего среднеквадратического приближения , , , :

i	xi	g0(xi)	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	c0	c1	c2	c3	Q0	Q1	Q2	Q3
			-2	1,5	-1,2					1,75	2,35	3,6
			-1	-1,5	2,4					1,75	2,05	0,8
				-1,5	-2,4					1,75	1,45	0,2
				1,5	1,2					1,75	1,15	2,4
Сумма
						1,75	-0,3	0,833	-0,33

Отметим, что , , , .