Метод Эйлера с уточнением

Задание: Используя метод Эйлера с уточнением, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y=f(x,y), удовлетворяющего начальным условиям y (x₀)=y₀ на отрезке [a,b]; шаг h=0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Образец выполнения:

y¢=x+sin(y/2,25); y₀(1,4)=2,2, xÎ[1,4;2,4]

Метод Эйлера с уточнением заключается в том, что каждое значение y_k+1=y(x_k+1), где y(x) — искомая функция, а x_k+1=x₀+h(k+1), k=0, 1, 2 …, определяется следующим образом:

За начальное приближение берется

y⁽⁰⁾_k+1=y_k+hf(x_k, y_k), где f(x, y)=y¢(x, y)

найденное значение y⁽⁰⁾_k+1 уточняется по формуле

y⁽ⁱ⁾_k+1=y_k+h/2[f(x_k, y_k)+ f(x_k+1, y_k+1)] (i=1, 2…)

Уточнение продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения не совпадут.

Все описанные вычисления удобно производить, составив следующие таблицы:

q Основную таблицу, в которой записывается ответ примера (таблица I);

q Таблицу, в которой выполняется процесс последовательных приближений (таблица II);

q Вспомогательную таблицу, в которой вычисляются значения функции f (x_k, y_k) (таблица III).

	Таблица I
k	xk	yk	fk=f(xk, yk)	hfk
0	1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4	2,2 2,4306 2,6761 2,9357 3,2084 3,4929 3,7876 4,0908 4,4006 4,7152 5,0328	2,2292 2,3821 2,5281 2,6648 2,7895 2,8998 2,9936 3,0696 3,1268 3,1654	0,2229 0,2382 0,2528 0,2665 0,2790 0,2900 0,2994 0,3070 0.3127 0.3165

Таблица II

k+1	xk+1	yk	i	y k+1	fk	f k+1	fk+f k+1	h/2(fk+f k+1)
	1,5	2,2		2,4229	2,2292	2,3805	4,6097	0,2305
				2,4305		2,3820	4,6112	0,2306
				2,4306		2,3821	4,6113	0,2306
	1,6	2,4306		2,6688 2,6760 2,6761	2,3821	2,5268 2,5280 2,5281	4,9089 4,9101 4,9102	0,2454 0,2455 0,2455
	1,7	2,6761		2,9289 2,9357	2,5281	2,6641 2,6648	5,1922 5,1929	0.2596 0,2596
	1,8	2,9357		3,2022 3,2084	2,6648	2,7892 2,7895	5,4540 5,4543	0,2727 0,2727
	1,9	3,2084		3,4874 3,4929	2,7895	2,8998 2,8998	5,6893 5,6893	0,2845 0,2845
	2,0	3,4929		3,7829 3,7876	2,8998	2,9939 2,9936	5,8937 5,8934	0,2947 0,2947
	2,1	3,7876		4,0870 4,0908	2,9936	3,0700 3,0696	6,0636 6,0632	0,3032 0,3032
	2,2	4,0908		4,3978 4,4006	3,0696	3,1273 3,1268	6,1969 6,1964	0.3098 0.3098
	2,3	4,4006		4,7133 4,7152	3,1268	3,1658 3,1654	6,2926 6,2922	0.3146 0.3146
	2,4	4,7152 0		5,0517 5,0328	3,1654	3,1866 3,1863	6,3520 6,3517	0,3176 0,3176

Таблица III

k	x	у	y/2,25	sin(y/2,25)	y¢=x+sin(y/2,25)
0	1,4	2,2	0,9778	0,8292	2,2292
	1,5 1,5 1,5	2,4229 2,4305 2,4306	1,0768 1,0802 1,0803	0,8805 0,8820 0,8821	2,3805 2,3820 2,3821
	1,6 1,6 1,6	2,6688 2,6760 2,6761	1,1861 1,1893 1,1894	0,9268 0.9280 0,9281	2,5268 2,5280 2,5281
	1,7 1,7	2,9289 2,9357	1,3017 1,3048	0,9641 0,9648	2,6641 2,6648
	1,8 1,8	3,2022 3,2084	1,4232 1,4260	0,9892 0,9895	2,7822 2,7895
	1,9 1,9	3,4874 3,4929	1,5500 1,5524	0,9998 0,9998	2,8998 2,8998
	2,0 2,0	3,7829 3,7876	1,6813 1,6834	0,9939 0,9936	2,9939 2,9936
	2,1 2,1	4,0870 4,0908	1,8164 1,8181	0,9700 0,9696	3,0700 3,0696
	2,2 2.2	4,3978 4,4006	1,9546 1,9558	0,9273 0,9268	3,1273 3,1268
	2,3 2,3	4,7133 4,7152	2,0948 2,0956	0,8658 0,8654	3,1658 3,1654
	2,4 2,4	5,0317 5,0328	2,2363 2,2368	0,7866 0,7863	3,1866 3,1863

Ответом являются значения yk(x), полученные в табл. I.

Варианты заданий:

1. y¢=x+cos , y₀(1,8)=2,6, xÎ[1,8;2,8]

2. y¢=x+cos , y₀(1,6)=4,6, xÎ[1,6;2,6]

3. y¢=x+cos , y₀(0,6)=0,8, xÎ[0,6;1,6]

4. y¢=x+cos , y₀(0,5)=0,6, xÎ[0,5;1,5]