Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций и формуле Симпсона, по формуле левых, правых и средних прямоугольников

1. Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Решение:

Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n _max,

чтобы: (*) Здесь a=0.7; b=1,3; / f ”(x)/,

где f (x)=1/

Находим: f ’(x)= , f ”(x)= ;

Положим M₂=7, тогда неравенство (*) примет вид

Откуда n²>252, т.е. n>16; возьмем n=20, Вычисление интеграла производим по формуле:

где: h=(b-a)/n=0,6/20=0,03, y_i=y(x_i)=1/ ; x_i=0,7+ih (i=0,1,2,…,20) Все расчеты произведены в таблице:

Таблица 1.

i	xi	xi2	2xi2+0,3		y0,y20	y1,…,y19
	0,7	0,49	1,28	1,131371	0,883883
	0,73	0,5329	1,3658	1,168674		0,85567
	0,76	0,5776	1,4552	1,206317		0,82897
	0,79	0,6241	1,5482	1,244267		0,803686
	0,82	0,6724	1,6448	1,282498		0,779729
	0,85	0,7225	1,745	1,320984		0,757011
	0,88	0,7744	1,8488	1,359706		0,735453
	0,91	0,8281	1,9562	1,398642		0,714979
	0,94	0,8836	2,0672	1,437776		0,695519
	0,97	0,9409	2,1818	1,477092		0,677006
			2,3	1,516575		0,65938
	1,03	1,0609	2,4218	1,556213		0,642585
	1,06	1,1236	2,5472	1,595995		0,626568
	1,09	1,1881	2,6762	1,63591		0,611281
	1,12	1,2544	2,8088	1,675947		0,596677
	1,15	1,3225	2,945	1,7161		0,582717
	1,18	1,3924	3,0848	1,75636		0,569359
	1,21	1,4641	3,2282	1,796719		0,55657
	1,24	1,5376	3,3752	1,837172		0,544315
	1,27	1,6129	3,5258	1,877711		0,532563
	1,3	1,69	3,68	1,918333	0,521286
					1,40517	12,77004

Таким образом,

I=0,03 ( +12,77004)=0,40418»0,404

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона с тремя десятичными знаками. Пусть n=8, поэтому h=(b-a)/n=(1,6-1,2)/8=0,05.

Вычислительная формула:

I= (y₀+4y₁+2y₂+4y₃+2y₄+4y₅+2y₆+4y₇+y₈), где y_i=y(x_i)= , x_i=1,2+ih

Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в таблице 2.

Таблица 2.

i	xi	2xi-2,l	sin (2xi-2,1)	xi2+1	y0,y8	y1, y3, y5, y7	y2, y4, y6
0	1,20	0,30	0,29552	2,44	0,1211
1	1,25	0,40	0,38942	2,5625		0,1520
2	1,30	0,50	0,4794	2,69			0,1782
3	1,35	0,60	0,5646	2,8225		0,2000
4	1,40	0,70	0,6442	2,96			0,2176
5	1,45	0,80	0,7174	3,1024		0,2312
6	1,50	0,90	0,7833	3,25			0,2410
7	1,55	1,00	0,8415	3,4025		0,2473
8	1,60	1,10	0.8912	3,56	0,2503
S					0,3713	0,8305	0,6368

Следовательно, I» (0,3714+4 •0,8305+2 • 0,6368)»0,88278.Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл. 3).

Так как max |D4yi|=0,0001, то остаточный член формулы

R_ост<

Вычисления производились с четырьмя значащими цифрами, а потому величина остаточного члена на погрешность не влияет.

Погрешность вычислений можно оценить из соотношения

DI = (b -a) •Dу < 0,4 • 0,0001 < 0,00005. Значит, полученные четыре десятичных знака верны.

Таблица 3.

I	уi	Dyi	D2yi	D3yi	D4yi
0	0,1211	0,0309	-0,0047	0,0003	-0,0001
1	0,1520	0,0262	-0,0044	0,0002	0.0000
2	0,1782	0,0218	-0,0042	0,0002	0.0000
3	0,2000	0,0176	-0,0040	0,0002	0,0001
4	0,2176	0,0136	-0,0038	0,0003	-0,0001
5	0,2312	0.0098	-0,0035	0,0002
6	0,2410	0,0063	-0,0033
7	0,2473	0,0030
8	0,2503

Самостоятельно:

1)

2)

3)

4)