![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пример:
Даны значения функции f(x)= на отрезке [1; 1,2].
а) Интерполировать функцию многочленом Ньютона (первая интерполяционная формула) и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.
б) Интерполировать функцию многочленом Ньютона (вторая интерполяционная формула) и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
![]() | 2,7183 | 2,7732 | 2,8292 | 2,8864 | 2,9447 | 3,0042 | 3,0649 | 3,1268 | 3,1899 | 3,2544 | 3,3201 |
Решение:
а) Шаг h=xi-xi-1 =0,02
Сначала вычислим ∆ yi по формуле: ∆ yi = yi+1 – yi.
Затем ∆2 yi по формуле: ∆2 yi =∆ yi+1– ∆ yi
…
∆j yi =∆j-1 yi+1– ∆j-1 yi
Далее для всех i вычислим значения i!hi и по формуле найдём коэффициенты интерполяционного многочлена Ньютона.
.
Подставим в данную формулу точку x =0,98 и коэффициенты ai, найденные ранее. Получим приближённое значение функции f(x)= в точке x =1,13.
Все вычисления приведены в таблице.
i | xi | yi | ∆ y0 | ∆2 y 0 | ∆3y0 | ∆4y0 | ∆5y0 | ∆6y0 | ∆7y0 | ∆8y0 | ∆9y0 | ∆10y0 | i!hi | ai | x-xi |
2,7183 | 0,0549 | 0,0011 | 1E-04 | -0,0002 | 0,0004 | -0,0007 | 0,0011 | -0,0016 | 0,0024 | -0,0045 | 2,7183 | 0,13 | |||
1,02 | 2,7732 | 0,056 | 0,0012 | -1E-04 | 0,0002 | -0,0003 | 0,0004 | -0,0005 | 0,0008 | -0,0021 | - | 0,02 | 2,745 | 0,11 | |
1,04 | 2,8292 | 0,0572 | 0,0011 | 1E-04 | -1E-04 | 1E-04 | -1E-04 | 0,0003 | -0,0013 | - | - | 0,0008 | 1,375 | 0,09 | |
1,06 | 2,8864 | 0,0583 | 0,0012 | 4,44E-16 | -1,3E-15 | 3,55E-15 | 0,0002 | -0,001 | - | - | - | 0,000048 | 2,0833 | 0,07 | |
1,08 | 2,9447 | 0,0595 | 0,0012 | -8,9E-16 | 2,22E-15 | 0,0002 | -0,0008 | - | - | - | - | 3,84E-06 | -52,0833 | 0,05 | |
1,1 | 3,0042 | 0,0607 | 0,0012 | 1,33E-15 | 0,0002 | -0,0006 | - | - | - | - | - | 3,84E-07 | 1041,6667 | 0,03 | |
1,12 | 3,0649 | 0,0619 | 0,0012 | 0,0002 | -0,0004 | - | - | - | - | - | - | 4,61E-08 | -15190,9722 | 0,01 | |
1,14 | 3,1268 | 0,0631 | 0,0014 | -0,0002 | - | - | - | - | - | - | - | 6,45E-09 | 170510,9127 | -0,01 | |
1,16 | 3,1899 | 0,0645 | 0,0012 | - | - | - | - | - | - | - | - | 1,03E-09 | -1550099,21 | -0,03 | |
1,18 | 3,2544 | 0,0657 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1,86E-10 | 12917493,39 | -0,05 | |
1,2 | 3,3201 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3,72E-11 | -121101500 | ||
1,13 | N(x)= | 3,0957 |
Оценим погрешность интерполяции по формуле , где
;
.
Из данной формулы видно, что точность метода достаточно высока.
а) Шаг h=xi-xi-1 =0,02
Сначала вычислим ∆ yi по формуле: ∆ yi = yi+1 – yi.
Затем ∆2 yi по формуле: ∆2 yi =∆ yi+1– ∆ yi
…
∆j yi =∆j-1 yi+1– ∆j-1 yi
Далее для всех i вычислим значения i!hi и по формуле найдём коэффициенты интерполяционного многочлена Ньютона.
.
Подставим в данную формулу точку x =1,13 и коэффициенты ai, найденные ранее. Получим приближённое значение функции f(x)= в точке x =1,13.
Все вычисления приведены в таблице.
i | xi | yi | ∆ y0 | ∆2 y 0 | ∆3y0 | ∆4y0 | ∆5y0 | ∆6y0 | ∆7y0 | ∆8y0 | ∆9y0 | ∆10y0 | i!hi | ai | x-xi |
2,7183 | 0,0549 | 0,0011 | 1E-04 | -0,0002 | 0,0004 | -0,0007 | 0,0011 | -0,0016 | 0,0024 | -0,005 | 3,3201 | ||||
1,02 | 2,7732 | 0,056 | 0,0012 | -1E-04 | 0,0002 | -0,0003 | 0,0004 | -0,0005 | 0,0008 | -0,0021 | - | 0,02 | 3,285 | 0,11 | |
1,04 | 2,8292 | 0,0572 | 0,0011 | 1E-04 | -1E-04 | 1E-04 | -1E-04 | 0,0003 | -0,0013 | - | - | 0,0008 | 1,5 | 0,09 | |
1,06 | 2,8864 | 0,0583 | 0,0012 | 4,44E-16 | -1,3E-15 | 3,55E-15 | 0,0002 | -0,001 | - | - | - | 0,000048 | -4,166667 | 0,07 | |
1,08 | 2,9447 | 0,0595 | 0,0012 | -8,9E-16 | 2,22E-15 | 0,0002 | -0,0008 | - | - | - | - | 3,84E-06 | -104,1667 | 0,05 | |
1,1 | 3,0042 | 0,0607 | 0,0012 | 1,33E-15 | 0,0002 | -0,0006 | - | - | - | - | - | 3,84E-07 | -1562,5 | 0,03 | |
1,12 | 3,0649 | 0,0619 | 0,0012 | 0,0002 | -0,0004 | - | - | - | - | - | - | 4,61E-08 | -17361,11 | 0,01 | |
1,14 | 3,1268 | 0,0631 | 0,0014 | -0,0002 | - | - | - | - | - | - | - | 6,45E-09 | -155009,9 | -0,01 | |
1,16 | 3,1899 | 0,0645 | 0,0012 | - | - | - | - | - | - | - | - | 1,03E-09 | -1259456 | -0,03 | |
1,18 | 3,2544 | 0,0657 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1,86E-10 | -11302807 | -0,05 | |
1,2 | 3,3201 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3,72E-11 | -1,21E+08 | -0,07 | |
1,13 | N(x)= | 3,0957 |
Оценим погрешность интерполяции по формуле , где
;
.
Из данной формулы видно, что точность метода достаточно высока.
Задания:
Даны значения функции f(x) на отрезке [1; 1,2]. Интерполировать функцию многочленом Ньютона (первая и вторая интерполяционные формулы) и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.
1)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
![]() | 0,3679 | 0,3606 | 0,3535 | 0,3465 | 0,3396 | 0,3329 | 0,3263 | 0,3198 | 0,3135 | 0,3073 | 0,3012 |
2)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
shxi | 1,1752 | 1,2063 | 1,2379 | 1,27 | 1,3025 | 1,3356 | 1,3693 | 1,4035 | 1,4382 | 1,4735 | 1,5095 |
3)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
chxi | 1,5431 | 1,5669 | 1,5913 | 1,6164 | 1,6421 | 1,6685 | 1,6956 | 1,7233 | 1,7517 | 1,7808 | 1,8107 |
4)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
sinxi | 0,8415 | 0,8521 | 0,8624 | 0,8724 | 0,8820 | 0,8912 | 0,9001 | 0,9086 | 0,9168 | 0,9246 | 0,9320 |
5)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
cosxi | 0,5403 | 0,5234 | 0,5062 | 0,4889 | 0,4713 | 0,4536 | 0,4357 | 0,4176 | 0,3993 | 0,3809 | 0,3624 |
6)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
lnxi | 0,0000 | 0,0198 | 0,0392 | 0,0583 | 0,0770 | 0,0953 | 0,1133 | 0,1310 | 0,1484 | 0,1655 | 0,1823 |
7)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
tgxi | 1,5574 | 1,6281 | 1,7036 | 1,7844 | 1,8712 | 1,9648 | 2,0660 | 2,1759 | 2,2958 | 2,4273 | 2,5722 |
8)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
ctgxi | 0,6421 | 0,6142 | 0,5870 | 0,5604 | 0,5344 | 0,5090 | 0,4840 | 0,4596 | 0,4356 | 0,4120 | 0,3888 |
9)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
log2xi | 0,0000 | 0,0286 | 0,0566 | 0,0841 | 0,1110 | 0,1375 | 0,1635 | 0,1890 | 0,2141 | 0,2388 | 0,2630 |
10)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
![]() | 1,0066 | 1,0132 | 1,0196 | 1,0260 | 1,0323 | 1,0385 | 1,0446 | 1,0507 | 1,0567 | 1,0627 |
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 557 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!