![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пример:
Функция f(x)= определена на отрезке [1; 1,2]. Интерполировать функцию многочленом Лагранжа и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.
а) по формуле для неравноотстоящих узлов.
б) по формуле для равноотстоящих узлов.
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
![]() | 2,7183 | 2,7732 | 2,8292 | 2,8864 | 2,9447 | 3,0042 | 3,0649 | 3,1268 | 3,1899 | 3,2544 | 3,3201 |
Решение:
а) Вычислим значения многочленов li в точке x =1,13 по формуле:
.
Затем найдём значение интерполяционного многочлена Лагранжа в данной точке по формуле: .
i | x | ||||||||||||
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | 1,13 | ||
![]() | 2,7183 | 2,7732 | 2,8292 | 2,8864 | 2,9447 | 3,0042 | 3,0649 | 3,1268 | 3,1899 | 3,2544 | 3,3201 | 3,0957 | |
li(x) | 0,0003 | -0,0035 | 0,0191 | -0,0655 | 0,1604 | -0,3208 | 0,8019 | 0,4582 | -0,0573 | 0,0076 | -0,0005 |
Так как L(x) приближает f(x), то f(1,13)≈L(1,13) =3,0957.
б) Вычислим значения ,
и Пn+1(t)=
в точке x =1,13. Получаем:
h | = | 0,02 | ||||||
t | = | 6,5 | ||||||
Пn+1(t) | = | 6928,308 | ||||||
n | = | |||||||
Далее воспользуемся формулой ![]() ![]() | ||||||||
i | xi | ![]() | (-1) n-i | t-i | i! | (n-i)! | gi(t) | gi*f(xi) |
2,7183 | 6,5 | 0,000294 | 0,000798 | |||||
1,02 | 2,7732 | -1 | 5,5 | -0,00347 | -0,00963 | |||
1,04 | 2,8292 | 4,5 | 0,019093 | 0,054017 | ||||
1,06 | 2,8864 | -1 | 3,5 | -0,06546 | -0,18894 | |||
1,08 | 2,9447 | 2,5 | 0,160378 | 0,472264 | ||||
1,1 | 3,0042 | -1 | 1,5 | -0,32076 | -0,96361 | |||
1,12 | 3,0649 | 0,5 | 0,801888 | 2,457705 | ||||
1,14 | 3,1268 | -1 | -0,5 | 0,458221 | 1,432767 | |||
1,16 | 3,1899 | -1,5 | -0,05728 | -0,18271 | ||||
1,18 | 3,2544 | -1 | -2,5 | 0,007637 | 0,024854 | |||
1,2 | 3,3201 | -3,5 | -0,00055 | -0,00181 | ||||
1,13 | ∑= | 3,0957 |
Следовательно, f (1,13)≈3,0957.
Оценим погрешность интерполяции по формуле , где
;
.
Из данной формулы видно, что точность метода достаточно высока.
Задания:
Функция f(x) определена на отрезке [1; 1,2]. Интерполировать функцию многочленом Лагранжа (по формулам для неравноотстоящих и равноотстоящих узлов) и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.
1)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
![]() | 0,3679 | 0,3606 | 0,3535 | 0,3465 | 0,3396 | 0,3329 | 0,3263 | 0,3198 | 0,3135 | 0,3073 | 0,3012 |
2)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
shx | 1,1752 | 1,2063 | 1,2379 | 1,27 | 1,3025 | 1,3356 | 1,3693 | 1,4035 | 1,4382 | 1,4735 | 1,5095 |
3)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
chx | 1,5431 | 1,5669 | 1,5913 | 1,6164 | 1,6421 | 1,6685 | 1,6956 | 1,7233 | 1,7517 | 1,7808 | 1,8107 |
4)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
sinx | 0,8415 | 0,8521 | 0,8624 | 0,8724 | 0,8820 | 0,8912 | 0,9001 | 0,9086 | 0,9168 | 0,9246 | 0,9320 |
5)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
cosx | 0,5403 | 0,5234 | 0,5062 | 0,4889 | 0,4713 | 0,4536 | 0,4357 | 0,4176 | 0,3993 | 0,3809 | 0,3624 |
6)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
lnx | 0,0000 | 0,0198 | 0,0392 | 0,0583 | 0,0770 | 0,0953 | 0,1133 | 0,1310 | 0,1484 | 0,1655 | 0,1823 |
7)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
tgx | 1,5574 | 1,6281 | 1,7036 | 1,7844 | 1,8712 | 1,9648 | 2,0660 | 2,1759 | 2,2958 | 2,4273 | 2,5722 |
8)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
ctgx | 0,6421 | 0,6142 | 0,5870 | 0,5604 | 0,5344 | 0,5090 | 0,4840 | 0,4596 | 0,4356 | 0,4120 | 0,3888 |
9)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
log2x | 0,0000 | 0,0286 | 0,0566 | 0,0841 | 0,1110 | 0,1375 | 0,1635 | 0,1890 | 0,2141 | 0,2388 | 0,2630 |
10)
xi | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,1 | 1,12 | 1,14 | 1,16 | 1,18 | 1,2 | |
![]() | 1,0066 | 1,0132 | 1,0196 | 1,0260 | 1,0323 | 1,0385 | 1,0446 | 1,0507 | 1,0567 | 1,0627 |
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 434 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!