Интерполирование функции многочленом Лагранжа

Пример:

Функция f(x)= определена на отрезке [1; 1,2]. Интерполировать функцию многочленом Лагранжа и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.

а) по формуле для неравноотстоящих узлов.

б) по формуле для равноотстоящих узлов.

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
	2,7183	2,7732	2,8292	2,8864	2,9447	3,0042	3,0649	3,1268	3,1899	3,2544	3,3201

Решение:

а) Вычислим значения многочленов l_i в точке x =1,13 по формуле:

.

Затем найдём значение интерполяционного многочлена Лагранжа в данной точке по формуле: .

i													x
xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2		1,13
	2,7183	2,7732	2,8292	2,8864	2,9447	3,0042	3,0649	3,1268	3,1899	3,2544	3,3201		3,0957
li(x)	0,0003	-0,0035	0,0191	-0,0655	0,1604	-0,3208	0,8019	0,4582	-0,0573	0,0076	-0,0005

Так как L(x) приближает f(x), то f(1,13)≈L(1,13) =3,0957.

б) Вычислим значения , и П_n+1(t)= в точке x =1,13. Получаем:

h	=	0,02
t	=	6,5
Пn+1(t)	=	6928,308
n	=
Далее воспользуемся формулой где . Все вычисления приведены в таблице.
i	xi		(-1) n-i	t-i	i!	(n-i)!	gi(t)	gi*f(xi)
		2,7183		6,5			0,000294	0,000798
	1,02	2,7732	-1	5,5			-0,00347	-0,00963
	1,04	2,8292		4,5			0,019093	0,054017
	1,06	2,8864	-1	3,5			-0,06546	-0,18894
	1,08	2,9447		2,5			0,160378	0,472264
	1,1	3,0042	-1	1,5			-0,32076	-0,96361
	1,12	3,0649		0,5			0,801888	2,457705
	1,14	3,1268	-1	-0,5			0,458221	1,432767
	1,16	3,1899		-1,5			-0,05728	-0,18271
	1,18	3,2544	-1	-2,5			0,007637	0,024854
	1,2	3,3201		-3,5			-0,00055	-0,00181
	1,13						∑=	3,0957

Следовательно, f (1,13)≈3,0957.

Оценим погрешность интерполяции по формуле , где

; .

Из данной формулы видно, что точность метода достаточно высока.

Задания:

Функция f(x) определена на отрезке [1; 1,2]. Интерполировать функцию многочленом Лагранжа (по формулам для неравноотстоящих и равноотстоящих узлов) и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.

1)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
	0,3679	0,3606	0,3535	0,3465	0,3396	0,3329	0,3263	0,3198	0,3135	0,3073	0,3012

2)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
shx	1,1752	1,2063	1,2379	1,27	1,3025	1,3356	1,3693	1,4035	1,4382	1,4735	1,5095

3)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
chx	1,5431	1,5669	1,5913	1,6164	1,6421	1,6685	1,6956	1,7233	1,7517	1,7808	1,8107

4)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
sinx	0,8415	0,8521	0,8624	0,8724	0,8820	0,8912	0,9001	0,9086	0,9168	0,9246	0,9320

5)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
cosx	0,5403	0,5234	0,5062	0,4889	0,4713	0,4536	0,4357	0,4176	0,3993	0,3809	0,3624

6)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
lnx	0,0000	0,0198	0,0392	0,0583	0,0770	0,0953	0,1133	0,1310	0,1484	0,1655	0,1823

7)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
tgx	1,5574	1,6281	1,7036	1,7844	1,8712	1,9648	2,0660	2,1759	2,2958	2,4273	2,5722

8)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
ctgx	0,6421	0,6142	0,5870	0,5604	0,5344	0,5090	0,4840	0,4596	0,4356	0,4120	0,3888

9)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
log2x	0,0000	0,0286	0,0566	0,0841	0,1110	0,1375	0,1635	0,1890	0,2141	0,2388	0,2630

10)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
		1,0066	1,0132	1,0196	1,0260	1,0323	1,0385	1,0446	1,0507	1,0567	1,0627