Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Интерполирование функции многочленом Лагранжа



Пример:

Функция f(x)= определена на отрезке [1; 1,2]. Интерполировать функцию многочленом Лагранжа и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.

а) по формуле для неравноотстоящих узлов.

б) по формуле для равноотстоящих узлов.

xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2
2,7183 2,7732 2,8292 2,8864 2,9447 3,0042 3,0649 3,1268 3,1899 3,2544 3,3201

Решение:

а) Вычислим значения многочленов li в точке x =1,13 по формуле:

.

Затем найдём значение интерполяционного многочлена Лагранжа в данной точке по формуле: .

i                         x
xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2   1,13
2,7183 2,7732 2,8292 2,8864 2,9447 3,0042 3,0649 3,1268 3,1899 3,2544 3,3201   3,0957
li(x) 0,0003 -0,0035 0,0191 -0,0655 0,1604 -0,3208 0,8019 0,4582 -0,0573 0,0076 -0,0005    

Так как L(x) приближает f(x), то f(1,13)≈L(1,13) =3,0957.

б) Вычислим значения , и Пn+1(t)= в точке x =1,13. Получаем:

h = 0,02            
t = 6,5            
Пn+1(t) = 6928,308            
n =              
Далее воспользуемся формулой где . Все вычисления приведены в таблице.
i xi (-1) n-i t-i i! (n-i)! gi(t) gi*f(xi)
    2,7183   6,5     0,000294 0,000798
  1,02 2,7732 -1 5,5     -0,00347 -0,00963
  1,04 2,8292   4,5     0,019093 0,054017
  1,06 2,8864 -1 3,5     -0,06546 -0,18894
  1,08 2,9447   2,5     0,160378 0,472264
  1,1 3,0042 -1 1,5     -0,32076 -0,96361
  1,12 3,0649   0,5     0,801888 2,457705
  1,14 3,1268 -1 -0,5     0,458221 1,432767
  1,16 3,1899   -1,5     -0,05728 -0,18271
  1,18 3,2544 -1 -2,5     0,007637 0,024854
  1,2 3,3201   -3,5     -0,00055 -0,00181
  1,13           ∑= 3,0957

Следовательно, f (1,13)≈3,0957.

Оценим погрешность интерполяции по формуле , где

; .

Из данной формулы видно, что точность метода достаточно высока.

Задания:

Функция f(x) определена на отрезке [1; 1,2]. Интерполировать функцию многочленом Лагранжа (по формулам для неравноотстоящих и равноотстоящих узлов) и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.

1)

xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2
0,3679 0,3606 0,3535 0,3465 0,3396 0,3329 0,3263 0,3198 0,3135 0,3073 0,3012

2)

xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2
shx 1,1752 1,2063 1,2379 1,27 1,3025 1,3356 1,3693 1,4035 1,4382 1,4735 1,5095

3)

xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2
chx 1,5431 1,5669 1,5913 1,6164 1,6421 1,6685 1,6956 1,7233 1,7517 1,7808 1,8107

4)

xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2
sinx 0,8415 0,8521 0,8624 0,8724 0,8820 0,8912 0,9001 0,9086 0,9168 0,9246 0,9320

5)

xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2
cosx 0,5403 0,5234 0,5062 0,4889 0,4713 0,4536 0,4357 0,4176 0,3993 0,3809 0,3624

6)

xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2
lnx 0,0000 0,0198 0,0392 0,0583 0,0770 0,0953 0,1133 0,1310 0,1484 0,1655 0,1823

7)

xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2
tgx 1,5574 1,6281 1,7036 1,7844 1,8712 1,9648 2,0660 2,1759 2,2958 2,4273 2,5722

8)

xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2
ctgx 0,6421 0,6142 0,5870 0,5604 0,5344 0,5090 0,4840 0,4596 0,4356 0,4120 0,3888

9)

xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2
log2x 0,0000 0,0286 0,0566 0,0841 0,1110 0,1375 0,1635 0,1890 0,2141 0,2388 0,2630

10)

xi   1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2
  1,0066 1,0132 1,0196 1,0260 1,0323 1,0385 1,0446 1,0507 1,0567 1,0627





Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 436 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...