Квадратичные формы

Пусть A (x, y) – симметрическая билинейная форма, заданная на векторном пространстве V.

Определение 11.6. Квадратичной формой называется числовая функция одного векторного аргумента x, которая получается из билинейной формы A (x, y) при x = y.

Определение 11.7. Симметрическая билинейная форма A (x, y) называется полярной квадратичной форме A (x, x).

Пусть дана билинейная форма A (x, y) = , положим в ней x_i = y_j, тогда мы получим представление квадратичной формы A (x, x) в конечномерном векторном пространстве V с заданным базисом { e }:

A (x, x) = . (2)

Определение 11.8. Матрица (a_ij) называется матрицей квадратичной формы A (x, x) в заданном базисе { e }.

При переходе к новому базису матрица квадратичной формы преобразуется по формуле A (f) = C^t × A (e)× C и ранг этой матрицы не меняется при переходе к новому базису.

Определение 11.9. Ранг матрицы квадратичной формы A (x, x) называется рангом квадратичной формы.

Определение 11.10. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее ранг равен размерности пространства V и вырожденной, если ее ранг меньше размерности пространства V.

Определение 11.11. Квадратичная форма A (x, x) называется

1. Положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x выполняется неравенство A (x, x) > 0.

2. Отрицательно определенной, если для любого ненулевого вектора x выполняется неравенство A (x, x) < 0.

3. Знакопеременной, если существуют такие x и y, что A (x, x) > 0 и A (y, y) < 0.

4. Квазизнакоопределенной, если для всех x, A (x, x) ≥ 0 (или A (x, x) ≤ 0) и имеется вектор x ≠ 0, для которого A (x, x) = 0.

Замечание. Если A (x, y) – билинейная форма, полярная положительно определенной квадратичной форме A (x, x), то A (x, y) удовлетворяет аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве:

1) A (x, y) = A (y, x) – в силу симметричности A (x, x).

2) A (x + y, z) = A (x, z) + A (y, z) – в силу определения билинейной формы.

3) A (λ x, y) = λ A (x, y) – в силу определения билинейной формы.

4) A (x, x) ≥ 0 и A (x, x) > 0 при х ≠ 0, т. к. A (x, x) положительно определена.

Вывод. Скалярное произведение в векторных пространствах может быть задано с помощью билинейной формы:

(x, y) = = A (x, y).