Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме

Теорема 10.3. Жорданова нормальная форма определяется для матрицы однозначно с точностью до порядка расположения жордановых клеток на главной диагонали.

Приведем матрицу A (λ) = A – λ E к каноническому виду с помощью элементарных преобразований.

A – λ E = .

Отличные от единицы многочлены e_{n – j +1}(λ), …, e_{n –1}(λ), e_n (λ) называют инвариантными множителями матрицы A (λ). Среди них нет многочленов равных нулю, сумма степеней всех этих многочленов равна n, и все они раскладываются на линейные множители над множеством комплексных чисел. Пусть e_{n – j +1}(λ) раскладывается в произведение следующих множителей: , , …, . Назовем эти множители элементарными делителями многочлена e_{n – j +1}(λ).

Определение 10.7. Элементарными делителями матрицы A (λ) называются элементарные делители всех многочленов e_{n – j +1}(λ), …, e_{n –1}(λ), e_n (λ).

Выпишем жорданову матрицу J порядка n, составленную из жордановых клеток определяемых следующим образом: каждому элементарному делителю матрицы A (λ) ставим в соответствие жорданову клетку порядка k_ij, относящуюся к числу l _i.

Пусть для некоторой матрицы порядка 9 характеристическая матрица A – λ E приведена к каноническому виду.

A – λ E = .

e ₁ = e ₂ = e ₃ = e ₄ = e ₅ = e ₆ = 1, e ₇ = l – 2, e ₈ = (l – 2)(l – 5)², e ₉ = (l – 2)³(l – 5)² – инвариантные множители матрицы A – λ E, (l – 2), (l – 2), (l – 5)²,
(l – 2)³, (l – 5)² – элементарные делители матрицы A – λ E.

Получаем: две клетки порядка 1, относящиеся к числу 2, две клетки порядка 2, относящиеся к числу 5, одну клетку порядка 3, относящуюся к числу 2, Выпишем жорданову форму матрицы A

Алгоритм приведения матрицы A к жордановой форме

1. Составить характеристическую матрицу A – λ E.

2. Привести эту матрицу к канонической форме с помощью элементарных преобразований.

3. Разложить диагональные многочлены на линейные множители.

4. Найти элементарные делители и по ним выписать жорданову форму матрицы A.

Для того чтобы заданная матрица была подобна диагональной матрице, необходимо и достаточно, чтобы все элементарные делители ее характеристической матрицы были первой степени.

Пример 10.4. Привести к жордановой форме матрицу A = .

Решение. с помощью элементарных преобразований приводим матрицу A –λ E к следующему виду: A –λ E = ~
~ … ~ . Инвариантные множители этой матрицы: e ₁ = 1, e ₂ = 1, e ₃ = (l – 1)(l – 2)²; элементарные делители будут (l – 1),
(l – 2)².

По найденным элементарным делителям выписываем жорданову форму исходной матрицы .