По формуле трапеций, разбив интервал интегрирования на 6, 12 частей. Найти точное решение, оценить погрешность вычисления

Лабораторная работа №8. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Симпсона.

Применение этой формулы требует почти такой же затраты труда, как и применение формулы трапеций, а приводит обычно к более точным результатам (при одном и том же разбиении интервала).

Разобьем интервал на n равных частей и предположим, что n четное число. Заменим дугу линии, отвечающую интервалу, дугой параболы, ось которой параллельна оси ординат и которая проходит через три точки:, и. Можно доказать, что это всегда можно сделать и притом единственным способом. Аналитически это означает, что в интервале данная функция заменяется квадратичной функцией. Произведя подобные замены и в интервалах, мы тем самым заменим площадь данной криволинейной трапеции суммой площадей получающихся параболических трапеций.

Найдем площадь первой из параболических трапеций

().

Имеем . После преобразования полученного выражения приходим к следующей формуле: . Аналогично выразятся площади , и последующих параболических трапеций: , и т.д. Складывая почленно все эти равенства, получим выражение, дающее приближенное значение искомого интеграла:

Это и есть формула Симпсона (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация формулы Симпсона