Лабораторная работа №7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула трапеций

Если первообразная функции не выражается через элементарные функции, то воспользоваться формулой Ньютона–Лейбница для вычисления интеграла не представляется возможным. В этом случае приходится прибегать к методам приближенного интегрирования, позволяющим находить приближенное значение определенного интеграла с необходимой для практики точностью. Потребность в приближенном вычислении интеграла возникает и в других случаях, например, тогда, когда первообразную подынтегральной функции найти можно, однако ее нахождение сопряжено с громоздкими вычислениями.

Формула трапеций

Рассматривая интеграл как площадь криволинейной трапеции, мы получим приближенное значение площади, т.е. приближенное значение интеграла, если данную кривую заменим вписанной ломаной. Тогда площадь криволинейной трапеции заменится суммой n площадей обычных трапеций.

Обозначим («шаг»). При этом площадь первой из трапеций равна , площадь второй и т.д. Суммируя эти площади, получим приближенное значение интеграла:

.

Это и есть формула трапеций (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация формулы трапеций

Число n выбирается произвольно. Чем больше будет это число (и чем меньше, следовательно, будет шаг), тем с большей точностью сумма, стоящая в правой части формулы трапеций, будет давать значение интеграла.