Операції піднесення до степеня

Поняття цілого степеня комплексного числа вводиться так само як і для дійсного числа. Нагадаємо, що при .

Домовились вважати . Для введення існують два шляхи.

1) , де

2)

Для корректності введеного поняття треба виконати вправу:

1) Довести

2) Довести при .

1. Розглянемо спочатку операцію піднесення в алгебраїчній формі. Нехай задано число . Оскільки з попередніх означень випливає, що піднесення до цілого степеня зводиться до піднесення до натурального степеня, то можна скористатися формулою Бінома Ньютона:

Розглянемо таблицю множення числа і

з цього випливає

Використовуючи таблицю множення та виділяючи дійсну та уявну частину, отримаємо

(1)

2. Розглянемо операцію піднесення до степеню, коли задано в тригонометричній формі.

Використовуючи правило множення комплексних чисел в тригонометричній формі, маємо

.

Тобто, - формула Муавра

(2)

Застосуємо отримані рівності (1) і (2) для знаходження розкладання і через і . Окремі випадки цих формул при n=2,3 відомі зі шкільного курсу.

Застосуємо до числа формулу (2). В тригонометричній формі

(3)

Застосуємо формулу (1) при , отримаємо

Порівнюючи в формулах (3) і (4) дійсні та уявні частини, отримаємо

(4)