Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі

Нехай задано комплексне число a = (a, b) = a + b×і, де a і b – декартові прямокутні координати точки a, що зображає комплексне число.

Введемо полярну систему координат таким чином, щоб полюс її збігався з початком декартової системи, а полярна вісь – з вісью 0х.

Нехай точка a має полярні координати a (r,j). Використовуючи зв¢язок між декартовою і полярною системами, маємо

a = a + bi = r×cosj + r×sinj

Звідси a = r (cosj + isinj), отримана форма запису комплесного числа називається тригонометричною формою, r – модуль комплексного числа a (r = ½a½), j - аргумент к a (j = arg a).

Таким чином ми довели, що будь-яке комплексне число можна записати в тригонометричній формі.

Розглянемо операції множення та ділення в тригонометричній формі.

Нехай задно два комплексних числа в тригонометрчній формі

a = r₁ (cos + i sin )

b = r₂ (cos + i sin ).

Треба одержати a× b = r (cos j + i sin j). Для того, щоб це зробити перейдемо від тригонометричної фори до агебраїчної і перемножимо.

a× b = ( cos + sin ) () =

= ,

тобто a×b = (cos( + )+i×sin( + )).

Звідси випливає:

r=r₁r₂, r=|a× b|, r₁=|a|, r₂=|b|, |a× b|=|a|×|b|.

j = + , j = arg (ab), = arg a, = arg b, arg (ab) = arg a + arg b.

Таким чином ми одержали, що

1) модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів.

2) аргумент добутку двох чисел дорівнює сумі аргументів.

Підсумовуючи це, маємо

Правило: Для того, щоб перемножити два числа в тригонометричній формі, треба перемножити їх модулі і додати аргументи.

Розглянемо частку двох комплексних чисел в тригонометричній формі

Домножимо чисельник і знаменник на

Отже, отримали правило

, arg () = × = arg a - arg b.