Полярна система координат

Означення. Полярною системою координат називають систему координат на площині, що складається з числової прямої, яка називається полярною віссю і точки на ній, що називається полюсом.

φ

М

Якщо ввести полярну систему координат, то положення точки М на площині визначається довжиною її радіуса-вектора і кутом між полярною віссю і радіусом-вектором .

Як завжди, додатній кут отримується поворотом проти годиникової стрілки. Якщо задані r та j, то точка визначається однозначно на пллощині. Якщо ж задати точку, то r визначається однозначно, а j - неоднозначно, а з точністю до доданка 2kπ.

Для того, щоб ліквідувати таку неоднозначність, домовимось, розглядати кут в межах 0 £ p £ 2 або -p £ j £ p. Тоді виникає взаємнооднозначна відповідність між точками площини і числами r та j.

Означення. Числа r та j називаються полярними координатами точки. Число r – полярним радіусом, кут j - полярним кутом точки М.

Знайдемо зв¢язок між полярними координатами точки і декартовими прямокутними. Введемо декартову прямокутну систему координат таким чином, що її початок збігається з полюсом, а вісь Ох з полярною вісью.

Використовуючи теорему про геометричний зміст декартових прямокутних координат, маємо

φ

φ

M

M

x

x

y

y

j.

(90°-j) = r× sinj.

Якщо відомі r та j, то x і y можна обчислити за формулами

x = r cos j

y = r sin j.

Поставимо обернену задачу: відомі x та y, треба знайти r та j.

З попередніх рівностей маємо:

З цих рівностей випливає

j+ j),

, ,

j , j .