Нерівність трикутника

Як і для дійсних чисел для комплексних чисел має місце нерівність трикутника

Доведення. Спочатку доведемо геометрично, що .

Зобразимо на площині комплексні числа та , побудуємо геометрично суму . Отримаємо трикутник зі сторонами

Тоді, за нерівністю трикутника маємо

.

Отже, друга частина нерівності доведена.

А

В

О

α

β

Доведення першої частини нерівності зведемо до другої частини. Для цього запишемо очевидну нерівность.

,

Застосуємо до цієї суми доведену нерівність

.

Зауважимо, що (довести самостійно). Тоді маємо нерівність в області дійсних чисел

.

А тому,

,

що і треба було довести.

Якщо в нерівності трикутника покласти , то отримаємо і таку нерівність .