Псевдообернені матриці

Почнемо з інформації про ранг добутку матриць, яка виявиться корисною при з’ясуванні умов існування псевдообернених матриць.

Відмітемо без доведення теорему.

Теорема. Ранг добутку матриць А і В не перевищує ранг матриці А і ранг матриці В.

Для подальшого важливим є наслідок з наведеної теореми.

Наслідок. Ранг добутку двох матриць А і В, з яких одна, наприклад В, невироджена, дорівнює рангу матриці А.

Доведення. Нехай С = А × В, det B ¹ 0. (1)

Треба довести, що r C = r A.

З теореми випливає, що

r C £ r A, (2)

з того, що det B¹0, випливає, що існує матриця . П омножимо обидві частини рівності на : С × = А × B × . З того, що множення має властивість асоціативності, матимемо, С × = А × Е=А. Застосуємо ще раз доведену теорему.

rA£ rC (3)

З (2) та (3) випливає, що r А = r С.

Нехай задано прямокутну матрицю А=(), розміру s´n,

Означення. Матриця, що умовно позначається , називається псевдооберненою лівою, якщо вона задовольняє умові:

×А=Е.

Аналогічно вводиться поняття псевдооберненої правої матриці, якщо вона задовольняє умові:

А× =Е.

Для того, щоб з¢ясувати умови існування псевдообернених матриць, треба розподілити всі прямокутні матриці на два класи: горизонтальні та вертикальні.

Означення. Матриця називається горизонтальною, якщо кількість рядків в ній менша за кількість стовпців.

Матриця називається вертикальною, якщо кількість стовпців в ній менша за кількість рядків.

Теорема 1. Жодна горизонтальна матриця немає псевдооберненої лівої.

Доведення. Нехай матриця А – горизонтальна матриця, тобто s<n. Тоді за означенням виконується рівність × А = Е. В матриці Е повинно бути стільки стовпців, скільки в матриці А, тобто квадратна матриця Е має розмір n´n. Ранг матриці Е дорівнює n, тому що в ній є мінор n-го порядку, що не дорівнює нулю. З іншого боку, застосуємо теорему про ранг добутку двох матриць.

n =r E £ r A £ s, n £ s, що суперечить умові. Так само може бути доведено теорему 1¢.

Теорема 1¢. Жодна вертикальна матриця не має оберненої правої.

Для того, щоб з¢ясувати, за яких умов горизонтальна матриця має праву, а вертикальна – псевдообернену ліву, треба ввести поняття рядковоневиродженної і стовпцевоневиродженної матриць.

Означення. Матриця називається рядкововиродженною, якщо її стовпці утворюють лінійнонезалежну систему.

Матриця називається стовпцовоневиродженною, якщо її стовпці утворюют лінійнонезалежну систему.

З цього означення випливає, що горизонтальна матриця не може бути стовпцевоневиродженною, а вертикальна – рядковоневиродженною.

Теорема 2. Для того, щоб матриця мала псевдообернену праву, необхідно і достатньо, щоб вона була рядкововиродженною.