![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Почнемо з інформації про ранг добутку матриць, яка виявиться корисною при з’ясуванні умов існування псевдообернених матриць.
Відмітемо без доведення теорему.
Теорема. Ранг добутку матриць А і В не перевищує ранг матриці А і ранг матриці В.
Для подальшого важливим є наслідок з наведеної теореми.
Наслідок. Ранг добутку двох матриць А і В, з яких одна, наприклад В, невироджена, дорівнює рангу матриці А.
Доведення. Нехай С = А × В, det B ¹ 0. (1)
Треба довести, що r C = r A.
З теореми випливає, що
r C £ r A, (2)
з того, що det B¹0, випливає, що існує матриця . П омножимо обидві частини рівності на
: С ×
= А × B ×
. З того, що множення має властивість асоціативності, матимемо, С ×
= А × Е=А. Застосуємо ще раз доведену теорему.
rA£ rC (3)
З (2) та (3) випливає, що r А = r С.
Нехай задано прямокутну матрицю А=(), розміру s´n,
Означення. Матриця, що умовно позначається , називається псевдооберненою лівою, якщо вона задовольняє умові:
×А=Е.
Аналогічно вводиться поняття псевдооберненої правої матриці, якщо вона задовольняє умові:
А× =Е.
Для того, щоб з¢ясувати умови існування псевдообернених матриць, треба розподілити всі прямокутні матриці на два класи: горизонтальні та вертикальні.
Означення. Матриця називається горизонтальною, якщо кількість рядків в ній менша за кількість стовпців.
Матриця називається вертикальною, якщо кількість стовпців в ній менша за кількість рядків.
Теорема 1. Жодна горизонтальна матриця немає псевдооберненої лівої.
Доведення. Нехай матриця А – горизонтальна матриця, тобто s<n. Тоді за означенням виконується рівність × А = Е. В матриці Е повинно бути стільки стовпців, скільки в матриці А, тобто квадратна матриця Е має розмір n´n. Ранг матриці Е дорівнює n, тому що в ній є мінор n-го порядку, що не дорівнює нулю. З іншого боку, застосуємо теорему про ранг добутку двох матриць.
n =r E £ r A £ s, n £ s, що суперечить умові. Так само може бути доведено теорему 1¢.
Теорема 1¢. Жодна вертикальна матриця не має оберненої правої.
Для того, щоб з¢ясувати, за яких умов горизонтальна матриця має праву, а вертикальна – псевдообернену ліву, треба ввести поняття рядковоневиродженної і стовпцевоневиродженної матриць.
Означення. Матриця називається рядкововиродженною, якщо її стовпці утворюють лінійнонезалежну систему.
Матриця називається стовпцовоневиродженною, якщо її стовпці утворюют лінійнонезалежну систему.
З цього означення випливає, що горизонтальна матриця не може бути стовпцевоневиродженною, а вертикальна – рядковоневиродженною.
Теорема 2. Для того, щоб матриця мала псевдообернену праву, необхідно і достатньо, щоб вона була рядкововиродженною.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 735 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!