Доведення. Нехай задано довільний векторний простір V і його базис

Нехай задано довільний векторний простір V і його базис . Розглянемо довільний вектор , що належить V.

1. Доведення можливості розкладання.

Розглянемо систему – лінійно залежну за означенням базису. Тоді існують числа , серед яких . Доведемо, що саме .

Припустимо, що . Тоді .

Це означає, що вектори базису лінійно залежні, що суперечить означенню. Отже і виконується .

З рівності випливає можливість доведення, адже:

2. Доведення єдиності розкладання.

Припустимо, що існує вектор , для якого існує декілька різних розкладань:

(1)

(2)

Для визначеності нехай . Помножимо рівність (2) на -1 і додамо до (1).

Отже, ми отримали, що базисні вектори є лінійно залежними, що суперечить означенню базиса.