Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Доведення. Нехай задано визначник d



Нехай задано визначник d.

Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це будуть мінори М12,…,Мs. Побудуємо до кожного з мінорів його алгебраїчне доповнення. Треба довести, що d = M1A1+M2A2+…+MsAs.

Для доведення рівності доведемо 2 факти: кожний член d належить правій частині, і навпаки, кожний член правої частини є членом лівої частини. Другий факт безпосередньо випливає з леми про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення. Доведемо перше. Візьмемо загальний член визначника d.

а1α12α2…аkαk∙аk+1αk+1k+2αk+2…аnαn, де α12,…,αn - перестановка з 1,2,…,n

Розіб'ємо загальний член на дві частини . Таким чином, ми довели, що а1α12α2…аkαk∙аk+1αk+1k+2αk+2…аnαn

Для того, щоб збігались знаки розглянутого члена в d з М∙М', треба замінити А1 (це випливає з леми). Таким чином, перший факт також доведений.

Наслідок. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

Нехай в теоремі Лапласа k=1.

Виділимо і-ий рядок. Тоді мінорами І порядку, розташованими в цьому рядку, будуть елементи цього рядка.

З цього наслідку випливає, що обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників (n-1)-го порядку. Користуючись властивістю 8) визначників можна звести обчислення визначника n-го порядку до обчислення лише одного визначника (n-1)-го порядку.

Для цього доведемо, що в будь-якому рядку (якщо не всі елементи рядка нулі) за допомогою властивості 8) можна отримати всі нулі, крім одного.

Нехай . Зробимо такі перетворення. До другого стовпця додамо перший, помножений на , …, до n-стовпця – перший помножений на . Тоді отримаємо

Таким чином, обчислення визначника n-го порядку зведено попереднім перетворенням до обчислення визначника (n-1)-го порядку





Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 578 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...