Достаточными признаками сходимости рядов с положительными членами являются признаки Даламбера и Коши

Признак Даламбера. Пусть - ряд с положительными членами a_n>0 и $ тогда

1) при l<1 ряд сходится,

2) при l>1 ряд расходится,

3) при l=1 ничего сказать нельзя.

Доказательство.

1) Если l<1, то $e>0: l<1-2e Þ l+e <1-e.

Т.к. $ , то "e>0 $ N(e): l-e <a_n+1/a_n< l+e <1-e =q<1 для "n>N (e)

Þ a_n+1 £ a_nq,

Тогда

a_N+1 £ a_N q

a_N+2 £ a_N+1 q £ a_N q²

………………………

a_{N + p} £ a_N+p-1 q £…£ a_N q^p

Ряд a_N q+ a_N q+…+ a_N q^p+ … сходится, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 0< q <1 Þ по признаку сравнения сходится и исходный ряд.

2) Если l>1, то $e>0: l>1+2e => l-e >1+e.

Т.к. $ , то $ N(e): l-e < < l+e для "n>N (e)

=> для "n>N, тогда

a_N+1 ³ a_N

a_N+2 ³ a_N+1 ³ a_N

………………………

Т.о. члены ряда ограничены снизу положительной постоянной a_N >0 и не стремятся к 0 Þ ряд расходится.

3) рассуждения не применимы при l =1 n

Замечание. Признак Даламбера можно использовать для исследования сходимости рядов с произвольными комплексными членами . Действительно, если $ , то

1) при l<1 ряд сходится Þ - сходится, причем абсолютно

2) при l>1 ряд Þ - расходится

3) при l=1 ничего сказать нельзя.

Признак Коши (радикальный) Пусть - ряд с неотрицательными членами a_n ³ 0 и $ тогда

при l<1 ряд сходится,

при l>1 ряд расходится,

при l=1 ничего сказать нельзя.

Доказательство.

если l <1, то $e>0: l <1-2e => l +e <1-e. Т.к. $ , то из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к l. Причем l наибольшая по величине точка сгущения последовательности

т.о. $ N (e):

< l +e <1-e = q <1, для " n > N (e).

иначе бы существовала другая, большая по величине точка сгущения .

=> a_n < qⁿ, т.е. ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем q <1.

2) Если l>1, то $e>0: l>1+e => l-e >1.

Т.к. $ , то $ N(e): l-e < для "n_k>N(e)

=> => >1 => бесконечное число членов ряда больше 1 => члены ряда не стремятся к 0 => ряд расходится.

3) рассуждения не применимы при l =1.n

Замечание. Радикальный признак Коши можно использовать для исследования сходимости рядов с произвольными комплексными членами . Действительно, если $ , то

1) при l<1 ряд сходится Þ - сходится абсолютно

2) при l>1 ряд Þ - расходится

3) при l=1 ничего сказать нельзя.

Замечание 3. Если о ряде известно лишь, что или , то о сходимости действительно ничего сказать нельзя. Например, ряды и удовлетворяют обоим условиям. При этом один из них сходится, а другой расходится.

Интегральный признак Коши. Если функция и при " , то ряд

,

сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

.

Доказательство.

" k при , в силу убывания

.

Проинтегрируем неравенство по отрезку

.

Суммируя эти неравенства от k =1 до k=n, получим

.

Полагая - частичные суммы ряда, получим

.

1) Если несобственный интеграл сходится, то при " n =>

.

Т.е. последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами ограничена сверху Þ ряд сходится.

Если ряд с неотрицательными членами сходится, то при " n =>

.

Для при " x: 1£x£ n в силу неотрицательности

.

Т.о. совокупность интегралов ограничена " x => несобственный интеграл сходится.

Примеры.

- ряд Дирихле.

,

верхняя подстановка конечна, если =>

Ряд Дирихле сходится при и расходится при .

- расходится, т.к.

- расходится.