Дослiдження загального рiвняння площини

Нехай площина Q задана загальним рiвнянням (2*). З¢ясуємо, як ця площина розташована вiдносно системи координат, якщо деякi з коефiцiєнтiв цього рiвняння дорiвнюють нулю.

1) Якщо D=0, то рiвняння (2*) має вигляд . В цьому випадку коордиати точки задовольняють цьому рiвнянню, тобто площина про-ходить через початок координат.

2) Якщо A =0, то Q ½½Оx або площина Q ^ площинi yОz.

3) Якщо B =0, то Q ½½Оy або площина Q ^ площинi xОz.

4) Якщо C =0, то Q ½½Оz або площина Q ^ площинi xОy.

5) Якщо A =0 i D =0, то площина Q проходить через вiсь Оx.

6) Якщо B =0 i D =0, то площина Q проходить через вiсь Оy.

7) Якщо C =0 i D =0, то площина Q проходить через вiсь Оz.

8) A =0 i B =0, то площина Q перпендикулярна осi Оx.

9) A =0 i C =0, то площина Q перпендикулярна осi Оy.

10) B =0 i C =0, то площина Q перпендикулярна осi Оz.

11) A =0, B =0, D =0, то z =0 - рiвняння площини xОy.

12) A =0, C =0, D =0, то y =0 - piвняння площини xОz.

13) B =0, C =0, D =0, то x =0 - piвняння площини yОz.

Рiвняння площини, що проходить через три точки.

Нехай в просторi вибрана система координат i заданi три точки своїми координатами, що не належать до однiєї прямої (рис.3.2):

, ,

.

Iснує тiльки одна така площина, що проходить через цi точки. Потрiбно написати її piвняння. Нехай довiльна точка цiєї площини Q.

Розглянемо вектори:

, ,

.

Цi вектори компланарнi; за умовою компланарностi їх змiшаний добуток дорiвнює нулю, тобто

.

За формулою обчислення змiшаного добутку одержимо:

(3*)

Це i є потрiбне рiвняння. Розгорнувши визначник за елементами першого рядка, одержимо рiвняння площини, що проходить через три заданi точки, у виглядi (2*).

Рiвняння площини у вiдрiзках на вісях координат.

Нехай площина Q вiдтинає на вiсях координат вiдрiзки a, b, c, причому, жоден з них не дорiвнює нулю. Площина Q проходить через три точки , , . (рис. 3.3). Скориставшись формулою (3*), одержимо:

.

Розгорнувши визначник за елементами 1-го рядка, отримаємо

(4*)

Це i є рiвняння площини у вiдрiзках. Ним зручно користуватися, коли потрiбно зобразити площину на рисунку.