А) Непосредственное моделирование

Если последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть , тогда случайная величина , где

Алгоритм генерирования значений случайной величины :

1. Задаем и .

2. Генерируют значение случайной величины : .

3. Если , то . В противном случае .

4. Если возвращаемся к шагу 2. В противном случае переход к шагу 5.

5. Полученная последовательность является выборкой объема значений случайной величины имеющей геометрическое распределение.

б) Моделирование с помощью показательного распределения. Пусть , тогда

и следовательно, случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром . Поэтому если взять , то будет иметь нужное нам распределение. Следовательно, если и , то . Для построения алгоритма необходимо выполнить последовательность действий примера из пункта 4.6.2.

4.9.4. Моделирование гамма - распределения. Непрерывная случайная величина имеет гамма - распределение с параметрами и , если она имеет функцию плотности вероятностей вида

,

Где гамма-функция Эйлера, для и .

Свойства гамма - функции: 1) 2) . Обозначение .

Частный случай гамма – распределения это распределение Эрланга го порядка, когда целое положительное число. Непрерывная случайная величина имеет распределение Эрланга го порядка с параметрами и , если она имеет функцию плотности вероятностей вида

,

Где , целое число.

Теорема 7. Случайная величина и ее плотность вероятностей равна

.

Тогда , где независимые случайные величины и .

Доказательство. Доказательство проведем по индукции. При получаем и тогда согласно пункта 4.6.2 имеем, что . Пусть утверждение теоремы верно при . Докажем, что оно также верно и для . Обозначим , и , тогда .

Воспользуемся правилом композиции плотностей независимых слагаемых

Воспользуемся индуктивным допущением

Теорема доказана.

Следствие. Пусть независимые случайные величины, . Тогда .

Примечание: Распределение Эрланга используется в теории массового обслуживания, описывая в ряде ситуаций распределение времен обслуживания.

4.9.5. Распределение Вейбулла. Непрерывная случайная величина имеет распределение Вейбулла с параметрами и , если она имеет функцию распределения , где и . Обозначают .

Для построения алгоритма моделирования, очевидно, что проще всего воспользоваться методом обратной функции.

Примечание: Распределение Вейбулла находит применение в статистической теории надежности при описании распределений времени без отказной работы.

4.9.6. Логнормальное распределение. Непрерывная случайная величина имеет логнормальное распределение с параметрами и , если она имеет функцию плотности вероятностей вида

,

где и . Обозначают .

Воспользуемся свойством логнормального распределения – если , то , следовательно .

Алгоритм генерирования значений случайной величины :

1. Генерируют значение случайной величины : . Для этого можно использовать любой из алгоритмов описанных в пункте 4.7.

2. Проводят вычисления значений .

3. Полученная последовательность является выборкой объема значений случайной величины имеющей логнормальное распределение с заданными параметрами.

Примечание: Логнормальное распределение используется в моделях дробления частиц, в моделях роста.

4.9.7. Моделирование многомерного нормального распределения. Функция плотности вероятностей случайной величины многомерного нормального распределения определяется как

,

для любого вектора в мерном вещественном пространстве; вектор средних значений, где ; ковариационная матрица. Многомерное нормальное распределение обозначают как . Матрица является симметричной и положительно определенной, и используя разложение Холецкого ее можно представить в виде , где нижнетреугольная матрица.

Алгоритм моделирования случайной величины .

1. .

2. Генерируется по алгоритму пункта 4.7.1 вектор значений независимых и одинаково распределенных случайных величин .

3. Вычисляют и .

4. Если , то возвращаемся к пункту 2. В противном случае переходим к пункту 5.

5. значений случайной величины .

4.9.8. Моделирование многомерного логнормального распределения. Определим многомерное логнормальное распределение через его отношение к многомерному нормальному распределению: случайная величина имеет логнормальное многомерное распределение, когда случайная величина имеет многомерное нормальное распределение . Тогда случайный вектор многомерного логнормального распределения можно представить как , где . Принятое обозначение

Алгоритм генерирования случайной величины .

1. По алгоритму пункта 4.9.7 генерируем многомерную случайную величину .

2. Возвращаем случайную величину :