Моделирование многомерных случайных величин

4.8.1. Моделирование мерной случайной точки с независимыми координатами. Если координаты мерной случайной величины независимы, то функция распределения этой случайной величины равна

,

где функция распределения случайной величины . Поэтому каждую величину можно моделировать независимо по теореме 3 пункта 4.6.2:

. (2)

Пример. Случайная точка в декартовой системе координат равномерна распределена в мерном параллелепипеде . Плотность вероятностей точки постоянна в :

Интегрируя по всем переменным, кроме , получим плотность случайной координаты

Тогда, согласно (2) запишем уравнение

,

откуда вытекают формулы для расчета координат случайной точки

.

Таким образом, посредством моделирования случайных величин получают выборку равномерно распределенных чисел на интервале (0;1) и вычисляют координаты точки .

4.8.2. Моделирование мерной случайной точки с произвольными координатами. В общем случае, когда зависимы, их совместную плотность можно представить в виде произведения условных плотностей вероятностей этих величин:

Все условные плотности вероятности выражаются через совместную плотность :

,

,

и т.д.

Тогда условная функция распределения будет представлена формулой

Теорема 6. Пусть независимые случайные величины равномерно распределенные на интервале (0;1). Тогда совокупность случайных величин полученных при последовательном решении уравнений

(3)

имеет совместную плотность вероятностей .

Доказательство. При фиксированных значениях случайную величину можно определить по формуле (5) пункта 4.6.2:

.

Тогда вероятность неравенства будет равна

.

Следовательно, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка вероятность совместного выполнения неравенств равна

Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим случайную точку которая принимает значения в треугольнике с плотностью .

Совместную плотность для двух переменных можно представить двумя способами

или .

Рассмотрим эти два случая по отдельности. Для первого способа записи имеем

, при ;

, при .

Находим соответствующие этим плотностям функции распределения:

, при ;

, при .

Из формул (3) данного пункта следует

и , где .

Для второго способа записи имеем

, при ;

, при .

Находим соответствующие этим плотностям функции распределения:

, при ;

, при .

Из формул (3) данного пункта следует

и , где .

Так как случайные величины и эквиваленты, то можно заменить на и в итоге получим

и , где .