Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Теорема 4. Пусть и случайные величины, равномерно распределенные на отрезке . Из данных случайных величин образуем случайную величину , случайную величину , и случайную величину . Введем случайную величину, заданную по правилу
.
Тогда случайные величины и являются независимыми и имеют стандартное нормальное распределение.
Доказательство. Все значения пары случайных величин при условии являются координатами точек, равномерно распределенных внутри единичного круга. Тогда данные случайные величины могут быть выражены через полярные координаты , , где . Следовательно, и . Таким образом, . Поскольку по построению равномерно распределена на отрезке , то и плотность распределения вероятностей . Найдем совместную функцию распределения для и
Теорема доказана.
Алгоритм моделирования 1 ( стандартно нормально распределенных чисел):
1. и .
2. Моделируем две независимые случайные величины, равномерно распределенные на [0; 1] реализацией которых будут выборки чисел: и . Преобразуем данные последовательности в и , где , .
3. Вычисляем величину .
4. Если , то и возвращаемся к шагу 3, в противном случае переходим к шагу 5 алгоритма.
5.
6. Если , то и возврат к шагу 3, в противном случае алгоритм завершает свою работу.
7. Последовательности случайных чисел и будут являться независимыми, и иметь стандартное нормальное распределение.
Теорема 5. Пусть случайная величина и , где функция Лапласа, тогда , то есть имеет нормальный закон распределения с параметрами и .
Доказательство. По определению функции распределения
,
где .
Следовательно, . Таким образом, случайная величина имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным и среднеквадратичным отклонением равным . Теорема доказана.
Следствие. Если последовательность случайных чисел является выборкой равномерно распределенной на [0;1] случайной величины, то последовательность , где является выборкой случайной величины, имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным и дисперсией равной .
Теорема 6. Случайные величины , а случайные величины и заданны формулами: и . Тогда случайные величины и являются независимыми.
Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 5.
Алгоритм моделирования 2 ( стандартно нормально распределенных чисел):
1. .
2. Моделируем две независимые случайные величины, равномерно распределенные на [0; 1] реализацией которых будут выборки чисел: и .
3. Вычисляем величины и .
4. Если , то и возвращаемся к шагу 3, в противном случае переходим к шагу 5 алгоритма.
5. Алгоритм закончил свою работу: последовательности случайных чисел и будут являться независимыми, и иметь стандартное нормальное распределение.
4.7.2. Приближенное моделирование нормального распределения. Рассмотрим нормированную сумму равномерно распределенных величин на интервале (0;1):
. (6)
Согласно предельно теореме 4.1.8 при .
Следовательно, по формуле (6) при достаточно больших можно вычислять приближенное значение нормальной случайной величины с параметрами (0;1), таким образом .
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 504 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!