![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 4. Пусть и
случайные величины, равномерно распределенные на отрезке
. Из данных случайных величин образуем случайную величину
, случайную величину
, и случайную величину
. Введем случайную величину,
заданную по правилу
.
Тогда случайные величины и
являются независимыми и имеют стандартное нормальное распределение.
Доказательство. Все значения пары случайных величин при условии
являются координатами точек, равномерно распределенных внутри единичного круга. Тогда данные случайные величины могут быть выражены через полярные координаты
,
, где
. Следовательно,
и
. Таким образом,
. Поскольку по построению
равномерно распределена на отрезке
, то
и плотность распределения вероятностей
. Найдем совместную функцию распределения для
и
Теорема доказана.
Алгоритм моделирования 1 ( стандартно нормально распределенных чисел):
1. и
.
2. Моделируем две независимые случайные величины, равномерно распределенные на [0; 1] реализацией которых будут выборки чисел: и
. Преобразуем данные последовательности в
и
, где
,
.
3. Вычисляем величину .
4. Если , то
и возвращаемся к шагу 3, в противном случае переходим к шагу 5 алгоритма.
5.
6. Если , то
и возврат к шагу 3, в противном случае алгоритм завершает свою работу.
7. Последовательности случайных чисел и
будут являться независимыми, и иметь стандартное нормальное распределение.
Теорема 5. Пусть случайная величина и
, где
функция Лапласа, тогда
, то есть имеет нормальный закон распределения с параметрами
и
.
Доказательство. По определению функции распределения
,
где .
Следовательно, . Таким образом, случайная величина
имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным
и среднеквадратичным отклонением равным
. Теорема доказана.
Следствие. Если последовательность случайных чисел является выборкой равномерно распределенной на [0;1] случайной величины, то последовательность
, где
является выборкой случайной величины, имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным
и дисперсией равной
.
Теорема 6. Случайные величины , а случайные величины
и
заданны формулами:
и
. Тогда случайные величины
и являются независимыми.
Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 5.
Алгоритм моделирования 2 ( стандартно нормально распределенных чисел):
1. .
2. Моделируем две независимые случайные величины, равномерно распределенные на [0; 1] реализацией которых будут выборки чисел: и
.
3. Вычисляем величины и
.
4. Если , то
и возвращаемся к шагу 3, в противном случае переходим к шагу 5 алгоритма.
5. Алгоритм закончил свою работу: последовательности случайных чисел и
будут являться независимыми, и иметь стандартное нормальное распределение.
4.7.2. Приближенное моделирование нормального распределения. Рассмотрим нормированную сумму равномерно распределенных величин на интервале (0;1):
. (6)
Согласно предельно теореме 4.1.8 при
.
Следовательно, по формуле (6) при достаточно больших можно вычислять приближенное значение нормальной случайной величины с параметрами (0;1), таким образом
.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 519 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!