![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
4.6.1. Моделирование случайной величины имеющей равномерный закон распределения. Случайная величина имеет равномерный закон распределения на
, если она имеет плотность распределения
вида
,
и функцию распределения вида
.
Введем обозначение - семейство случайных величин равномерно распределенных на
.
Теорема 2. Если и
, то
.
Доказательство. По определению функции распределения
Так как
Тогда . Теорема доказана.
Следствие. Если последовательность чисел является выборкой случайной величины
, то последовательность
, где
является выборкой значений случайной величины
.
4.6.2. Метод обратной функции. Предположим, что случайная величина определена в интервале
и имеет плотность
при
. Обозначим через
функцию распределения
, которая при
равна
.
Случай и (или)
не исключается.
Теорема 3. Пусть случайные величины и
удовлетворяют следующим условиям:
а) ;
б) . (5)
Тогда случайная величина имеет плотность распределения
.
Доказательство. По определению функция распределения строго возрастает в интервале
от
до
, тогда уравнение (5) будет иметь единственный корень при каждом конкретном значении случайной величины
. При этом будут равны вероятности
.
И так как случайная величина равномерно распределена в интервале
, то
.
Следовательно . Что и требовалось доказать.
В тех случаях, когда уравнение (5) аналитически разрешимо относительно , получается явная формула
для моделирования случайной величины
, где
обратная функция по отношению к
. В других случаях уравнение (5) решают численными методами.
Пример. (Моделирование случайной величины имеющей показательное или экспоненциальное распределение). Пусть случайная величина, имеющая показательное распределение (обозначение
). Функция распределения имеет вид
.
Задаем и находим обратную функцию
:
.
Следовательно, для генерирования искомой случайной величины, сначала генерируют случайную величину - выборка данной случайной величины. Затем определяют последовательность чисел
, (6)
которая и будет являться реализацией случайной величины .
4.6.3. Универсальный способ. Данный способ основан на аппроксимации функции плотности случайной величины.
Пусть требуется получить реализацию случайной величины , которая имеет функцию плотности,
и множество значений данной функции есть интервал
. Представим
в виде кусочно-постоянной функции. Для этого разобьем интервал
на
интервалов и будем считать, что
на каждом таком интервале является постоянной. Тогда случайную величину
можно представить в виде
, где
абсцисса левой границы
того интервала, а
случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри
интервала, то есть на интервале
, а величина
считается распределенной равномерно. Для аппроксимации функции
целесообразно разбиение интервала
осуществить так, чтобы вероятность попадания случайной величины
в любой интервал
была постоянной, то есть не зависела от номера интервала
. Таким образом, для вычисления
необходимо воспользоваться следующим соотношением
Алгоритм моделирования случайной величины (получение
значений):
1. Генерируется случайная последовательность равномерно распределенных чисел (
чисел) из интервала (0; 1).
2.
3. С помощью числа случайным образом выбирается интервал
:
.
4. С помощью числа вычисляем значение случайной величины
:
.
5. Если , то увеличиваем индексы
и
, и переходим к пункту 3 данного алгоритма, в противном случае алгоритм заканчивает свою работу.
6. Числа являются значениями реализации случайной величины
.
4.6.4. Способы, базирующиеся на предельных теоремах теории вероятностей. Такие способы ориентированы на моделирование случайных величин с конкретным законом распределения. Поясним сказанное на примерах.
Пример 1. Необходимо получить последовательность случайных чисел , имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием
и дисперсией
. Иными словами промоделировать случайную величину
.
Воспользуемся центральной предельной теоремой 4.1.8. Промоделируем независимые одинаково распределенные случайные величины , которые имеют одинаковые математические ожидания
и средне квадратичное отклонение
, то сумма
асимптотически нормальна с математическим ожиданием
и дисперсией
. В ходе моделирования случайных величин
нами будут получены их числовые реализации
, где
это
тая реализация
той случайной величины
. Тогда
той реализацией случайной величины
будет
.
Пример 2. Необходимо промоделировать случайную величину, имеющую распределение Пуассона
.
Для этого воспользуемся предельной теоремой Пуассона (4.1.1): если вероятность наступления события
при одном испытании, то вероятность наступление события
раз в
независимых испытаниях при
асимптотически равна
.
Алгоритм моделирования чисел имеющих закон распределения Пуассона:
1. Зададим достаточно большое натуральное число и
,
номер числа.
2. Проводим серию независимых испытаний, в каждом из которых событие
происходит с вероятностью
. Определяем число случаев
фактического наступления события
в серии с номером
.
3. Если , то
возвращаемся к пункту 2 алгоритма, в противном случае алгоритм завершает свою работу.
4. Числа являются значениями реализации случайной величины распределенной по закону Пуассона.
4.6.5. Аналитические способы. Используют результаты других разделов математики и основываются на строгих аналитических доказательствах. Один из таких способов применен в разделе 4.7 при обосновании алгоритма моделирования случайной величины имеющей стандартное нормальное распределение.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2739 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!