Моделирование непрерывных случайных величин

4.6.1. Моделирование случайной величины имеющей равномерный закон распределения. Случайная величина имеет равномерный закон распределения на , если она имеет плотность распределения вида

,

и функцию распределения вида

.

Введем обозначение - семейство случайных величин равномерно распределенных на .

Теорема 2. Если и , то .

Доказательство. По определению функции распределения

Так как

Тогда . Теорема доказана.

Следствие. Если последовательность чисел является выборкой случайной величины , то последовательность , где является выборкой значений случайной величины .

4.6.2. Метод обратной функции. Предположим, что случайная величина определена в интервале и имеет плотность при . Обозначим через функцию распределения , которая при равна

.

Случай и (или) не исключается.

Теорема 3. Пусть случайные величины и удовлетворяют следующим условиям:

а) ;

б) . (5)

Тогда случайная величина имеет плотность распределения .

Доказательство. По определению функция распределения строго возрастает в интервале от до , тогда уравнение (5) будет иметь единственный корень при каждом конкретном значении случайной величины . При этом будут равны вероятности

.

И так как случайная величина равномерно распределена в интервале , то

.

Следовательно . Что и требовалось доказать.

В тех случаях, когда уравнение (5) аналитически разрешимо относительно , получается явная формула для моделирования случайной величины , где обратная функция по отношению к . В других случаях уравнение (5) решают численными методами.

Пример. (Моделирование случайной величины имеющей показательное или экспоненциальное распределение). Пусть случайная величина, имеющая показательное распределение (обозначение ). Функция распределения имеет вид

.

Задаем и находим обратную функцию :

.

Следовательно, для генерирования искомой случайной величины, сначала генерируют случайную величину - выборка данной случайной величины. Затем определяют последовательность чисел

, (6)

которая и будет являться реализацией случайной величины .

4.6.3. Универсальный способ. Данный способ основан на аппроксимации функции плотности случайной величины.

Пусть требуется получить реализацию случайной величины , которая имеет функцию плотности, и множество значений данной функции есть интервал . Представим в виде кусочно-постоянной функции. Для этого разобьем интервал на интервалов и будем считать, что на каждом таком интервале является постоянной. Тогда случайную величину можно представить в виде , где абсцисса левой границы того интервала, а случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри интервала, то есть на интервале , а величина считается распределенной равномерно. Для аппроксимации функции целесообразно разбиение интервала осуществить так, чтобы вероятность попадания случайной величины в любой интервал была постоянной, то есть не зависела от номера интервала . Таким образом, для вычисления необходимо воспользоваться следующим соотношением

Алгоритм моделирования случайной величины (получение значений):

1. Генерируется случайная последовательность равномерно распределенных чисел ( чисел) из интервала (0; 1).

2.

3. С помощью числа случайным образом выбирается интервал : .

4. С помощью числа вычисляем значение случайной величины : .

5. Если , то увеличиваем индексы и , и переходим к пункту 3 данного алгоритма, в противном случае алгоритм заканчивает свою работу.

6. Числа являются значениями реализации случайной величины .

4.6.4. Способы, базирующиеся на предельных теоремах теории вероятностей. Такие способы ориентированы на моделирование случайных величин с конкретным законом распределения. Поясним сказанное на примерах.

Пример 1. Необходимо получить последовательность случайных чисел , имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией . Иными словами промоделировать случайную величину .

Воспользуемся центральной предельной теоремой 4.1.8. Промоделируем независимые одинаково распределенные случайные величины , которые имеют одинаковые математические ожидания и средне квадратичное отклонение , то сумма асимптотически нормальна с математическим ожиданием и дисперсией . В ходе моделирования случайных величин нами будут получены их числовые реализации , где это тая реализация той случайной величины . Тогда той реализацией случайной величины будет .

Пример 2. Необходимо промоделировать случайную величину, имеющую распределение Пуассона

.

Для этого воспользуемся предельной теоремой Пуассона (4.1.1): если вероятность наступления события при одном испытании, то вероятность наступление события раз в независимых испытаниях при асимптотически равна .

Алгоритм моделирования чисел имеющих закон распределения Пуассона:

1. Зададим достаточно большое натуральное число и , номер числа.

2. Проводим серию независимых испытаний, в каждом из которых событие происходит с вероятностью . Определяем число случаев фактического наступления события в серии с номером .

3. Если , то возвращаемся к пункту 2 алгоритма, в противном случае алгоритм завершает свою работу.

4. Числа являются значениями реализации случайной величины распределенной по закону Пуассона.

4.6.5. Аналитические способы. Используют результаты других разделов математики и основываются на строгих аналитических доказательствах. Один из таких способов применен в разделе 4.7 при обосновании алгоритма моделирования случайной величины имеющей стандартное нормальное распределение.