Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями

Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом.

Множество Ω = {ω} всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта (испытания, эксперимента) называется пространством элементарных событий (коротко ПЭС), а сами исходы ω – элементарными событиями (или«элементами», «точками»).

Случайным событием (или просто событием) называется любое подмножество множества Ω.

Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Ω, называются благоприятствующими событию А.

Множество Ω называется достоверным событием; ему благоприятствует любое элементарное событие, в результате опыта оно обязательно произойдёт.

Пустое множество называется невозможным событием; в результате опыта оно произойти не может.

Под операциями (действиями) над событиями понимаются операции над множествами, точнее – подмножествами пространства Ω.

Сумма (или объединение)двух событий А Í Ωи В Í Ω(обозначается А + В или A È B) – это множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из событий А и В.

Произведение (или пересечение) двух событий А Í Ωи В Í Ω(обозначается А ∙ В или A Ç B) – это множество, которое состоит из элементов, общих для событий А и В.

Разность событий АÍ В и ВÍ А (обозначается А – В или А \ В) – это множество, которое содержит те элементы события А, которые не входят в В.

Противоположным событию А Í Ωназывается событие = Ω \А; множество называют также дополнением множества А.

Событие А влечет событие В (или А есть подмножество В), если каждый элемент события А содержится в В; обозначается А Í В.

По определению Í А для любого А.

События А и В называются несовместными, если ихпроизведение (пересечение) есть невозможное событие, т. е. А ∙ В = .

Несколько событий A₁, A₂, …, A_n образуют полную группу несовместных событий, если ихсумма представляет все ПЭС, а сами события попарно несовместны, т.е. и

Полную группу, в частности, образуют события А и (А + = Ω, А ∙ = Æ).

Операции над событиями (множествами) обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А, А ∙ В = В А (переместительное);

2. (А+В) ∙ С = А ∙ С+В ∙ С, А ∙ В+С = (А +С) ∙ (В +С) (распределительное);

3. (А + В) + С = А + (В + С), (А ∙ В) ∙ С = А ∙ (В ∙ С) (сочетательное);

4. А + А = А, А ∙ А = А;

5. A + Ω = Ω, A ∙ Ω = A;