Степенные ряды. Теорема Абеля

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(1)

членами которого являются степенные функции, где – постоянные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Иногда рассматривают степенные ряды по степеням разности

Ряд сводится к ряду (1) с помощью замены переменной (х - а)= X. Поэтому для изучения свойств степенных рядов применяются степенные ряды (1). Полученные результаты будут справедливы и для рядов .

Область сходимости степенного ряда устанавливается теоремой Абеля.

Теорема Абеля. 1.Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении , то он абсолютно сходиться при всяком значении x удовлетворяющем условию , т.е. ряд сходиться на интервале (рис. 1).

Рис. 1

2. Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении , то он расходится при всяком значении x, удовлетворяющем условию (рис. 2).

Рис. 2

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда (1) будет интервал с центром в начале координат. Для ряда центр интервала сходимости находится в точке х = а.

Радиусом сходимости степенного ряда (1) называется неотрицательное число R такое, что при всех степенной ряд сходится, а при всех - расходится. Интервал называется интервалом сходимости ряда

(рис 3).

расходится -R О R расходится