Тогда формула вычисления двойного интеграла имеет вид

b

a

О

Пример. Переходя к полярным координатам вычислить двойной интеграл , если область D ограничена линиями

Решение. Уравнения определяют окружности.

y y=2x y=x

Используя формулы перехода от декарто-

вых координат к полярным

,

запишем уравнения границы области D O x

в полярных координатах

,

Область D запишется в виде неравенств:

========================================================

Лекция №23.

Тема. Числовые ряды. Исследование сходимости числовых рядов.

Цель лекции. Числовые ряды являются важнейшим разделом математики, которые применяются в методах приближенного вычисления значений функций. Целью лекции является изучение основных понятий теории рядов, исследования сходимости.

Основные вопросы.

1. Числовые ряды, основные понятия и свойства.

2. Простейшие свойства сходящихся рядов.

3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости рядов.

5. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда. Признак Лейбница.

Краткое содержание

1. Числовые ряды, основные понятия и свойства.

Пусть , где, — бесконечная числовая последовательность. Выражение вида

(1)

называется бесконечным числовым рядом, а числа - членами ряда; называется общим членом ряда. Используя знак суммирования , числовой ряд записывают в виде

Сумма первых n членов ряда называется n -й частичной суммой и обозначается

Частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумма при т.е.

Число S называют суммой ряда. .

Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела или предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

,

где — знаменатель геометрической прогрессии.

При ее частичная сумма будет . Найдем предел .

Тогда =