Вычисление двойных интегралов

Вычисление двойных интегралов сводится к повторным (двукратным) интегралам по каждой из переменных в случае, если область интегрирования имеет специальный вид. Рассмотрим два областей интегрирования.

1.Область D называется правильной в направлении оси Оу, если прямая, параллельная оси Оу пересекает границу области не более чем в двух точках.

Такую область можно записать в виде неравенств

у

D

O а b x

В этом случае двойной интеграл вычисляется через повторные интегралы по формуле

Внутренний интеграл интегрируется по переменной у при постоянном х и его значение является подынтегральной функцией для внешнего интеграла.

2. Область D называется правильной в направлении оси Ох, если прямая, параллельная оси Ох пересекает границу области не более чем в двух точках. Такую область можно записать в виде неравенств

у у=с

D

у=d

O y

В этом случае двойной интеграл вычисляется через повторные интегралы по формуле

Внутренний интеграл интегрируется по переменной х при постоянном у и его значение является подынтегральной функцией для внешнего интеграла.

Пример. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена линиями y = x; xy = 1, x = 2.

Решение. 1) Область D изобразим на чертеже.

yx= 2

xy= 1 y=x

О х

2)Так как область D правильная в направлении оси Оу, то за внешнюю переменную выберем х. Тогда область D запишется в виде неравенств

.

3) Двойной интеграл запишем через повторные интегралы и вычислим его.

,

При вычислении двойных интегралов иногда необходимо изменить порядок интегрирования. Поэтому, в качестве примера, изменим порядок интегрирования в двукратном интеграле

Область D ограничена прямыми х =1, х = 2, у = х и кривой . Спроектируем область D на ось Оу, получим отрезок [½,2]. Правой границей является прямая х = 2, левая – на участке [½,1] кривая , на участке [1,2] прямая х = у. Следовательно, область D необходимо разбить на две части . А двукратный интеграл – на сумму двух двукратных интегралов по областям Будем иметь

.

Вычисляя интеграл с измененным порядком интегрирования, получим тот же результат.