Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости рядов

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные значения. В частности, если знаки любых двух соседних членов ряда противоположны, то ряд называется знакочередующимся и такой ряд записывается в виде

,

где .

Приведем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.

Если знакопеременный ряд

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

сходится, то и данный ряд также сходится.

Этот признак является достаточным, но не необходимым. Это означает, что существует знакопеременные ряды, которые сходятся, в то время как ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

В связи с этим вводится понятие об абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.

Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленных из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Отметим следующие свойства абсолютно и условно сходящихся рядов:

1. Сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется от любой перестановки его членов.

2. Сумма условно сходящегося ряда меняется от любой перестановки бесконечного числа его членов вплоть до получения расходящегося ряда.

Пример 1. Пусть условно сходящийся ряд имеет сумму, равную числу S. Переставим члены этого ряда, поместив после каждого положительного члена два отрицательных члена, тогда получим ряд .

Теперь каждый положительный член ряда сложим с последующим отрицательным числом, в результате получим ряд

.

Следовательно, сумма данного ряда в результате перестановки бесчисленного числа членов уменьшилась в два раза.