Простейшие свойства сходящихся рядов

Ряд с неотрицательными членами называется рядом с положительными членами.

- ряд с положительными членами, если .

1. Если члены сходящегося ряда умножить на одно и тоже число k, то его сходимость не нарушится, а сумма лишь умножится на k.

2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны , то и каждый из двух рядов также сходится. Их суммы будут соответственно равны .

3. Отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

Если ряд сходится, то и ряд , называемый остатком данного ряда, также сходится. Верно и обратное.

4. Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n, т.е. .

Обратное утверждение неверно. Общий член ряда может стремиться к нулю при n →∞, а ряд будет расходящимся. Если общий член ряда не стремится к нулю при возрастании номера n, то ряд обязательно расходится.

Пример 1. Рассмотрим ряд:

который называется гармоническим рядом. Его общий член стремиться к нулю при n →∞. Однако, гармонический ряд является расходящимся(можно доказать с помощью интегрального признака).