Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

1⁰. Признаки сравнения.

а) Первый признак сравнения.

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(2) и , (3)

причем . Тогда: если сходится ряд (3), то сходится и ряд (2); если расходится ряд (2), то расходится и ряд (3).

Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех n, а лишь начиная с некоторого номера .

б) Предельный признак сравнения.

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Пример 2. Исследовать сходимость ряда ; если р<1.

Решение. Применим признак сравнения. Будем сравнивать с расходящимся гармоническим рядом .

Члены данного ряда , начиная со второго, больше соответствующих членов гармонического ряда, т.е

.

и гармонический ряд расходиться. Следовательно, по признаку сравнения данный ряд расходиться.

3⁰. Признак Даламбера. Если для ряда , существует , то при ряд сходится и при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым. В этом случае следует применить другие признаки

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Поскольку , , то

= = = () =

= = <1. Следовательно, данный ряд сходится.

4⁰. Радикальный признак Коши.

Если для ряда существует , то при ряд сходится и при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым. В этом случае следует применить другие признаки.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда ()

Решение. Применим радикальный признак Коши:

= = = = <1,

Следовательно, данный ряд сходится.

5⁰. Интегральный признак сходимости ряда

Теорема. Пусть члены ряда

положительны и не возрастают, т.е. , и пусть известна непрерывная, невозрастающая на интервале функция такая, что

Тогда несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим интегральный признак Коши. Для этого вычислим несобственный интеграл

= = (- )= (- ) =

= ( + )= < .

Несобственный интеграл сходится, поэтому и данный ряд тоже сходится.