Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
10. Признаки сравнения.
а) Первый признак сравнения.
Пусть даны два ряда с положительными членами:
(2) и , (3)
причем . Тогда: если сходится ряд (3), то сходится и ряд (2); если расходится ряд (2), то расходится и ряд (3).
Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех n, а лишь начиная с некоторого номера .
б) Предельный признак сравнения.
Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда .
Пример 2. Исследовать сходимость ряда ; если р<1.
Решение. Применим признак сравнения. Будем сравнивать с расходящимся гармоническим рядом .
Члены данного ряда , начиная со второго, больше соответствующих членов гармонического ряда, т.е
.
и гармонический ряд расходиться. Следовательно, по признаку сравнения данный ряд расходиться.
30. Признак Даламбера. Если для ряда , существует , то при ряд сходится и при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым. В этом случае следует применить другие признаки
Пример 1. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Поскольку , , то
= = = () =
= = <1. Следовательно, данный ряд сходится.
40. Радикальный признак Коши.
Если для ряда существует , то при ряд сходится и при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым. В этом случае следует применить другие признаки.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда ()
Решение. Применим радикальный признак Коши:
= = = = <1,
Следовательно, данный ряд сходится.
50. Интегральный признак сходимости ряда
Теорема. Пусть члены ряда
положительны и не возрастают, т.е. , и пусть известна непрерывная, невозрастающая на интервале функция такая, что
Тогда несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся одновременно.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Применим интегральный признак Коши. Для этого вычислим несобственный интеграл
= = (- )= (- ) =
= ( + )= < .
Несобственный интеграл сходится, поэтому и данный ряд тоже сходится.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 443 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!