Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть двойной интеграл преобразуется от прямоугольных координат к криволинейным координатам , связанными с прямоугольными координатами соотношениями , . Функции и имеют непрерывные частные производные в области G плоскости и определитель преобразования, называемый якобианом, в области G не обращается в нуль:

При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками области D на плоскости и точками области G плоскости . Тогда имеет место формула

,

которая называется формулой преобразования координат в двойном интеграле.

В частности, преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат к полярным координатам , связанными с прямоугольными координатами соотношениями , и якобиан преобразования имеет вид

осуществляется по формуле

.

Для вычисления двойного интеграла также применяют правило сведения его к повторным интегралам. При этом, переменной для внешнего интеграла будет переменная , для внутреннего - r.

Предположим, что область D ограничена двумя лучами, выходящими из полюса под углами a и b (a < b), и двумя кривыми, уравнения которых в полярных координатах будут иметь вид: . Полюс лежит вне области D. Кроме того, любой луч j=const, (a < j<b) пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда область D можно записать в виде неравенств

D

Для этой области интегрирования формула вычисления двойного интеграла имеет вид

Если область интегрирования D заключена между лучами j = a и j = b, а полюс полярной системы координат лежит на границе, то ее можно записать в виде неравенств