Решение нормальной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом сведения к одному уравнению высшего порядка (метод исключения)

Нормальная линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид

, (3)

Все коэффициенты являются действительными числами.

Одним из методов решений нормальных систем дифференциальных уравнений является метод исключения неизвестных функций, который сводит систему уравнений к одному уравнению n -го порядка с одной неизвестной функцией или к нескольким таким уравнениям, причем сумма порядков этих уравнений равна n.

Сведение системы уравнений (1) к одному уравнению n -го порядка (если оно возможно) достигается последовательным дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных функций, кроме одной.

Решив полученное уравнение, находят общее решение уже без новых интегрирований.

Пример 1. Найти общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решение. Дифференцируем первое уравнение системы по х и из полученного равенства исключим и , заменяя их значениями из данной системы. Будем иметь

Из первого уравнения системы найдем ,

Заменим в полученном дифференциальном уравнении второго порядка. Будем иметь:

Полученное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами относительно . Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

Общее решение имеет вид

Подставляя значения для и в выражение для , получим

Таким образом, общее решение системы уравнений, найденное методом исключения, будет

Если в правую часть системы уравнений (3) входят функции от х, то такая система дифференциальных уравнений называется неоднородной. Применяя метод исключения к неоднородной системе уравнений, получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n -го порядка, общее решение которого находится указанным ранее методом.

Пример 2. Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям .

Решение. Дифференцируя по х первое уравнение системы, будем иметь

Из первого уравнения определим и подставим во второе уравнение. Тогда

Подставляя полученное выражение в соотношении (*), будем иметь

Таким образом, находим:

Общее решение полученного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

.

Найдем производную

Подставим найденные значения в выражение для , получим

.

Таким образом, общее решение данной системы имеет вид

Подберём постоянные и так, чтобы удовлетворялись начальные условия. Из выражения для и получаем

Решая полученную систему, находим

Таким образом, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид