Лекция 20

Тема: Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель лекции. Изучить основные свойства и методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Основные вопросы.

1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения.

2. Решение нормальной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом сведения к одному уравнению высшего порядка (метод исключения).

3. Решение нормальной системы дифференциальных уравнений методом Эйлера.

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М. Наука,1985 –Т.1.-456с.

2. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник –Алматы,2003 –686с.

3. Байбазаров М.Б., Байтуреев К.Т., Невердовский В.Г. Дифференциальные уравнения. Сборник задач по высшей математике. – Алматы, 2012–110с.

Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения.

Системой обыкновенных дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, которые содержат общие для всей совокупности функции одной независимой переменной и их производные до некоторых порядков.

Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид (для удобства ограничимся тремя уравнениями с тремя искомыми функциями).

, (1)

где неизвестные функции независимой переменной x, подлежащие определению, а известные функции от , заданные и непрерывные в некоторой общей области определения. Число n = 3 называется порядком системы.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Множество функций

, (2)

определенных и непрерывно дифференцируемых для всех , называется решением системы (1) в этом интервале, если функции (2) обращают уравнения системы (1) в тождества, справедливые для всех значений

Общим решением системы (1) называется множество функций

,

зависящие от трех произвольных постоянных , которые при любых допустимых значениях постоянных обращают уравнения системы (1) в тождества.

Частным решением системы (1) называется любое решение этой системы, получаемое из общего при конкретных значениях произвольных постоянных.

Задача получения частного решения системы (1), удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши. Начальные условия для системы (1) имеют вид

где заданные числа.