Некоторые сведения о многочленах и дробно рациональных функциях

Целой рациональной функцией или многочленом степени n называется выражение вида

где

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов

Если то рациональная дробь называется неправильной, при n<m, дробь называется правильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби

Интегрирование дробно-рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных дробей. Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа простейших дробей.

1. , целое). 3.

Интегрирование простейших дробей.

1. .

2. .

3.

4.

где

В курсе высшей алгебры доказывается, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей четырех типов, в зависимости от разложения знаменателя на произведение линейных и квадратных сомножителей с учетом их кратности. Каждому простому корню такого разложения будет соответствовать простейшая дробь первого типа. Кратному действительному корню х = а кратности k будет соответствовать цепочка простых дробей:

Если многочлен имеет комплексные корни, то они входят сопряженной парой. Можно показать, что паре комплексных сопряженных корней будет соответствовать квадратный трехчлен. В разложении правильной дроби на сумму простейших дробей квадратному трехчлену будет соответствовать простейшая дробь третьего типа.