Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где функция f(x) непрерывна на сегменте [ a,b ]. Введем новую переменную интегрирования которая удовлетворяет условиям:

1) и

2) непрерывны на . Тогда

Доказательство. Пусть F(x) есть первообразная для f(x). Тогда

Первое тождество интегрируем по х, , второе – по t, . Будем иметь

Правые части полученных выражений равны, следовательно, равны и левые.

Пример. Вычислить интеграл .

Пример. .

И нтегрирование по частям. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на [ a,b ], тогда имеет место формула

которая называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример. Вычислить