Интегрирование иррациональных функций

Основным приемом для нахождения неопределенных интегралов от иррациональных функций является рационализация подынтегральной функции с помощью замены переменной интегрирования. В зависимости от вида подынтегральной функции применяются различные подстановки.

1) Функция R является рациональной относительно указанных величин. Подынтегральная функция рационализируется с помощью подстановки. , где N – наименьшее общее кратное чисел { k, l, …, m)

2) Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Интеграл вида рационализируется с помощью подстановки .

3) Нахождение интегралов вида

,

где R – рациональная функция двух аргументов, производится с помощью тригонометрических подстановок следующим образом. Выделением полного квадрата в квадратном трехчлене с последующей заменой переменной исходный интеграл приводится (в зависимости от знака а и дискриминанта квадратного трехчлена) к интегралу одного из следующих трех типов:

1) применяется подстановка ;

2) , применяется подстановка ;

3) , применяется подстановка

Примеры. Найти интегралы.

1)

Старший преподаватель Невердовский В.Г.