Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций

Функция a(х) называется бесконечно малой при или , если или .

Если функция a(х) является бесконечно малой при , то из определения предела следует, что для любого произвольного числа e > 0 найдется такое число , что для всех х, удовлетворяющих условию будет выполняться условие Это означает, что в своем изменении бесконечно малая функция может сделаться меньше любого, сколь угодно малого числа e.

Свойства бесконечно малых функций.

1. Сумма конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

3. Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Рассмотрим функции, которые при своем изменении могут сделаться больше любого сколь угодно большого числа. Такие функции называются бесконечно большими.

Функция f(x) называется бесконечно большой при , если для любого числа M > 0 найдется такое число , что для всех х, , выполняется неравенство .

В этом случае говорят, что функция f(x) стремится к бесконечности при х ® а и записывают .Учитывая это обстоятельство, можно дать определение бесконечно большой функции следующим образом:

Функция f(x) называется бесконечно большой при х ® а, если .

Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует простая связь: если функция f(x) есть бесконечно малая при , тогда при этом же стремлении х функция будет бесконечно большой.