Двовимірні неперервні випадкові величини

Двовимірною неперервною випадковою величиною звуть дві неперервні випадкові величини, що задаються своїми функціями розподілу і щільності і

Двовимірною функцією розподілу двовимірної величини зветься числова скалярна функція двох дійсних аргументів, яка при фіксованих значеннях аргументів дорівнює ймовірності наставання наступної події.

У цьому випадку простором елементарних подій є вся множина чи область площини. Покажемо, що у можна ставити у будь-якій комбінації.

Примітка! Це узагальнення властиве

Розглянемо (*)

Аналогічно знімається і друге .

Самим довести, що можна ставити як і , так і

Двовимірна неперервна випадкова величина зветься абсолютно неперервною (далі неперервною), якщо існує така числова скалярна функція двох дійсних аргументів, що задовольняє наступній інтегральній рівності:

Примітка! У двовимірних функціях розподілу і щільності перший аргумент – перша випадкова величина, другий дійсний аргумент – друга випадкова величина.

Якщо поміняти місцями, то у функціях розподілу і щільності треба місцями поміняти аргументи.

Двовимірна функція щільності є непевною функцією чи кусково-неперервною з обмеженою кількістю розривів першого роду.

Властивості двовимірної функції розподілу:

1) Невід’ємна

2) Є монотонно неспадною по будь-якій множині своїх аргументів.

Примітка! Використати наступне якщо , то

3) Якщо хоча б один аргумент дорівнює , то функція розподілу дорівнює 0.

4) Якщо обидва аргументи дорівнюють , то функція розподілу дорівнює 1.

Властивості двовимірної функції щільності:

1) Функція щільності – невід’ємна.(Випливає з 2 властивості двовимірної функції розподілу)

2)

3) Нехай в області , що належить і має не нульову площу (має внутрішні точки) і в області функція щільності неперервна, тоді для будь-якої внутрішньої точки інтегральна нерівність еквівалентна:

Ймовірність не зміниться, якщо поставити і . Отримаємо наступну властивість:

4) . З властивості 4 випливає властивість 5.

5)

Довести самим, що інколи область дозволяє подвійний інтеграл звести до його двократного.

Приклад. Знайдемо ймовірності наставання події:

Умовна щільність

Ця формула є аналогом формули:

В якості умовної щільності приймається вираз:

Беремо події

Тоді Самими поділити чисельник на знаменник і отримати результат

Введемо по аналогії з дискретним випадком умовне математичне сподівання і умовну дисперсію неперервних випадкових величин. Отримаємо чотири формули:

Примітка!

Зміст той самий, що і для дискретного випадку.

Маємо двовимірну функцію щільності Знайдемо

З рівності інтегралів не випливає рівність підінтегральних виразів, тому що у нашому випадку випадку у нас нескінченна кількість інтегралів. Для неперервних чи кусково-неперервних це можливо, бо

Таким чином отримали результат: щоб отримати функцію щільності випадкової величини по двовимірній функції щільності треба двовимірну функцію щільності про інтегрувати по нескінченним границям по змінній, що відповідає другій випадковій величині.

Дискретні випадкові величини і звуться незалежними, якщо

. Показати самим, що у цьому випадку

Але якщо випадкова величина породжена першим випробуванням, а друга величина – другим, а самі прості випробування незалежні, то показати самим, що і також незалежні.

Примітка! Повторити один до одного розділ «Композиція двох незалежних випроьувань» як частковий випадок:

Незалежні двовимірні випадкові величини

і незалежні неперервні двовимірні випадкові величини, якщо їх двовимірна функція щільності дорівнює добутку їх двовимірної функції розподілу, тобто

Примітка! Якщо двовимірна функція щільності є неперервна, то

Дійсно,

Показати самим, що у цьому випадку:

а) умовна функція щільності дорівнює безумовній.

б) Умовне математичне сподівання дорівнює безумовному.

в) Умовна дисперсія дорівнює безумовній.

Покажемо, що якщо породжуються незалежними випробуваннями, то – незалежні З результатів розділу «Композиція двох незалежних випробувань» події і є незалежними на площині в просторі елементарних подій композиції двох незалежних випробувань, тоді

, а так як і незалежні, то:

. Звідси випливає, що