Коефіцієнт кореляції

Коефіцієнтом кореляції випадкової величини зветься коефіцієнт коваріації для нормованих величин.

Властивості коефіцієнта кореляції:

Розглянемо формулу:

Примітка!

Висновок. Якщо випадкові величини незалежні чи їх коваріаця дорівнює 0, то дисперсія їх суми (різниці) дорівнює сумі дисперсії.

Наслідок. Дисперсія суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій подвоєна сума відповідної коваріації.

Розглянемо

1)

2) Якщо , то , де і – , тобто і зв’язані лінійно.

Доведення:

а)

Таким чином:

б)

3) Коефіцієнт кореляції є якісна міра ступеня лінійного зв’язку між випадковими величинами : чим ближче по модулю коефіцієнт кореляції до 1, тим тісніший зв’язок між величинами .

Доведення:

Відомо (Смирнов, Дуниин-Барковський «Курс теории вероятностей и математической статистики»), що будь-які дві довільні випадкові величини можна представити у вигляді:

, де , причому, якщо , то і – це коефіцієнти, що беруться з властивості пункту 2а, якщо , то і беруться з властивості 2б.

Нехай близько до 1. Проведемо випробування над випадкової величиною . Нехай прийняло певне значення , тоді у цьому випробуванні приймає відповідне значення , яке є додатнім чи від’ємним, але по модулю тим менше, чим ближче до1.

Тоді отримаємо множину векторів на площині, які групуються відносно прямої і ти м тісніше, чим ближче до 1.