Двовимірні дискретні випадкові величини

Двовимірної дискретною випадковою величиною звуться дві дискретні випадкові величини кожна з яких задається табличкою.

Двовимірна велична задається матрицею

У цій матриці деякі ймовірності можуть дорівнювати 0 (випадок, коли відповідна пара чисел принципово не може настати в наслідок випробувань).

Наприклад, попадання точки в коло заданого радіусу. Пари чисел з сірої області ніколи не можуть настати.

о

Розглянемо події і

За побудовою

– елементарна подія

Доведемо це.

Умовним математичним сподіванням зветься

Умовною дисперсією зветься

Формально умовне сподівання і умовна дисперсія відрізняється від безумовних тим,що пишуть не безумовні ймовірності, а умовні ймовірності, а у дисперсії замість безумовного сподівання матсподівання – умовне.

Примітка! Функції , звуться лініями регресії.

Якщо в цю функцію замість аргументів підставити елементарні події випадкової дискретної величини отримаємо умовні мат.сподівання при фіксованому значенні

– математичне сподівання випадкової величини , коли

Звідси випливає зміст умовного математичного сподівання і дисперсії: умовне математичне сподівання – це число на числовій осі, відносно якого групуються результати конкретних випробувань над однією випадкової величиною при умові, що друга випадкова величина приймає одне стале фіксоване значення у достатньо великій серії випробувань.

А умовна дисперсія – це якісна міра ступеня концентрації цих результатів відносно математичного сподівання.(чим менша, тим сильніша).

Умовне математичне сподівання та умовна дисперсія використовуються для розв’язку наступної задачі, а саме там, де безумовна і умовна дисперсії різко відрізняються між собою.

Маємо двовимірну випадкову величину і обов’язково треба знати реалізацію як одної, так і другої. Але так трапилось, що знаємо результат тільки над однією випадковою величиною. Якщо умовна дисперсія дуже мала, то у якості вимірювань беремо її умовне математичне сподівання при тому значенні умовної величини, яке ми виміряли.