Неперервні випадкові величини. неперервна випадкова велична має вимірну функцію розподілу (може бути як

неперервна випадкова велична має вимірну функцію розподілу (може бути як , так і ), що задовольняє властивостям:

1) Приймає значення аргументів з діапазону

2) Якщо хоча б один аргумент дорівнює , то функція розподілу дорівнює 0.

3) Якщо всі аргументи рівні , то функція розподілу рівна 1.

4) Є неспадною по будь-якій підмножині своїх аргументів.

Маємо вимірну функцію щільності, що є неперервною з класу неперервниз чи кусково-неперервних.

Примітка! Перший диференціал відповідає внутрішньому інтегралу, останній – зовнішньому.

Властивості вимірної функції щільності

1)

2) Якщо функція щільності неперервна, то

3)

4) З властивості 3 випливає властивість 4.

і має вимірни1 об’єм.

незалежні, якщо:

,

Якщо породжене простим незалежним випробуванням, то – незалежні.

Щоб отримати функцію щільності аргументів треба вимірну функцію щільності про інтегрувати по нескінченним границям по всім змінним, що не відповідають нашим випадковим величинам.

Математичне сподівання числової скалярної функції від випадкових аргументів.

Постановка задачі

а) дискретний випадок.

Маємо дві випадкові дискретні величини, що задаються табличками:

– функція двох дискретних величин. Наприклад,

Треба знайти математичне сподівання

Примітка 1! Для знаходження мат. сподівання цієї функції треба задати двовимірну випадкову величину,:

Примітка 2! Використовуються розмірковування, які приводять до розрахування . Див. лек. «Математичне сподівання дискретних випадкових величини».

б) неперервний випадок. – неперервні випадкові величини.

Примітка! Використовуємо прийом, проведений для мат. сподівання , де – неперервна випадкова величина.

Примітка! – неперервна функція своїх аргументів.

Для спрощення будемо вважати, що двовимірна функція щільності (умова не обов’язкова) є непевною на площині. Вона може мати розриви І роду, результат залишиться без змін.

Приведемо результат:

Площину б’ємо на нескінченно злічену кількість прямокутників з лівими нижніми вершинами

Двовимірну неперервну випадкову величину замінимо двовимірною дискретною величиною наступним чином: якщо у випробування неперервна випадкова величина попадає в -ий, -ий прямокутник, то в цьому випробування прийняло значення . Якщо і , то двовимірна дискретна величина буде збігатись з двовимірною непевною випадковою величиною.

Використовуючи формулу можна записати:

Неперервну випадкову величину замінимо дискретної випадковою величиною при і , що прямує до 0. В силу неперервності функції по своїм аргументам, дискретна випадкова величина прямує до неперервної. Таким чином отримуємо для границі

Якщо цей інтеграл існує і по модулю обмежений, то вищевказаний ліміт дорівнює цьому інтегралу.

Для загального випадку формули не обґрунтовуються. Обґрунтування проводиться по аналогії з дискретним випадком.

а) Дискретний випадок.

б) Неперервний випадок.

Теорема 1. Мат. сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі мат. сподівань.

а) n=2. Дискретний випадок.

Примітка! У другій подвійній сумі змінено порядок сумування.

б) неперервний випадок.

в) загальний випадок доводиться по принципу математичної індукції.

Для двох доведено.

Нехай доведено для , то .

Нехай , тоді

Примітка! У доведенні по математичній індукції схований наступний результат: щоб знайти у дискретному випадку необхідно мати … ) чи вимірну функцію щільності

Теорема 2. Мат. сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх мат. сподівань. (Доведення приводиться для неперервного випадку, для дискретного довести самим).